Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

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G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 44 di 64 4.5 - Il Regime Periodico Alternato Sinusoidale (P.A.S.) Il problema del transitorio dei circuiti elettrici, di cui si sono fornite alcune nozioni, sarà trattato diffusamente nei successivi paragrafi. In questo paragrafo si studierà invece il regime permanente dovuto ad un particolare tipo di forzanti: le forzanti di tipo periodico alternato sinusoidale (P.A.S.). Una grandezza si definisce di tipo P.A.S. se il suo andamento nel tempo è del tipo: () t = F ⋅ ( ω⋅ t + ϕ) f M cos [4.23] Dove il valore massimo F M viene spesso anche indicato come modulo e l'angolo iniziale ϕ come fase iniziale o semplicemente fase. Una funzione P.A.S. è univocamente definita quando di essa siano dati modulo e fase, oltre, naturalmente, alla frequenza. Si noti che una grandezza di questo tipo: 1) è periodica, con periodo T = 2π ω 2) presenta valor medio nullo se considerata su un periodo o su un intervallo di tempo multiplo di un periodo Si noti anche che: f f ′ () t = −ωFM ⋅sin( ω⋅ t + ϕ) = ωFM ⋅cos( ω⋅ t + ϕ + π 2) 2 ′ () t = −ω F 2 ⋅cos( ω⋅ t + ϕ) = ω F 2 ⋅cos( ω⋅ t + ϕ + π) = −ω f () t M M [4.24] le derivate di una funzione P.A.S. sono ancora funzioni P.A.S. sfasate di 90° (derivata prima), 180° (derivata seconda), etc. in anticipo rispetto alla funzione di partenza. Pertanto anche le soluzione permanenti dei sistemi di equazioni algebrico-differenziali che descrivono le reti elettriche lineari dovranno essere funzioni P.A.S. se sono P.A.S. le forzanti. Si consideri di nuovo l'esempio del par. 5.4 e l'equazione differenziale: ( R ) Li′ + R R i = R e R1 2 L 1 2 L 2 + [4.25] e si supponga che la forzante sia P.A.S.: () t = E ⋅ ( ω⋅ t + δ) e M cos [4.26] Si supponga che anche la componente permanente della corrente sia una funzione P.A.S.: () t = I ⋅ ( ω⋅ t + ϕ) i M LP cos [4.27] nel seguito verrà indicata semplicemente come i , senza pedici. Per ora il modulo e la fase iniziale di tale corrente sono indeterminati. Possiamo vedere tali funzioni come somme di seni e coseni senza fase iniziale: () t = E ⋅( δ⋅ cosωt − sin δ⋅ sin t) ( t) = I ⋅ ( cos ϕ⋅ cos ωt − sin ϕ⋅ sin t) e M cos ω [4.28] i M ω Introducendo nell'equazione [4.25] questa espressione di corrente e le sue derivate: ( R1 + R2 ) L ⋅ ω⋅ I M ⋅ ( − cosϕ ⋅sin ωt − sin ϕ⋅ cosωt ) + R1R2 ⋅ I M ⋅( cosϕ ⋅ cosωt − sin ϕ⋅ sin ωt) = R ⋅ E ⋅ ( cosδ ⋅ cosωt − sin δ ⋅sin ωt) 2 M In questa equazione si proceda a raggruppare i termini "coseno" e i termini "seno": ( − ωL( R1 + R2 ) ⋅sin ϕ + R1R2 ⋅ cosϕ) ( − ωL( R + R ) ⋅ cosϕ − R R ⋅sin ϕ = R ⋅ E 2 1 M 2 ⋅ cosδ ⋅ cosωt − R ⋅ E 1 2 2 M = [4.29] ⋅ I M ⋅cosωt + ) ⋅ I M ⋅sin ωt + [4.30] ⋅sin δ ⋅sin ωt Poiché l'uguaglianza deve essere verificata istante per istante, allora deve valere: ( − ωL( R1 + R2 ) ⋅sin ϕ + R1R2 ⋅ cos ϕ) ⋅ I M = + R2 ⋅ EM ⋅ cos δ ( − ωL( R + R ) ⋅ cosϕ − R R ⋅sin ϕ) ⋅ I = −R ⋅ E ⋅sin δ 1 2 1 2 M 2 M Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011 [4.31]
G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 45 di 64 Queste espressioni possono essere riscritte come: ( A⋅ sen ϕ + B ⋅ cosϕ) ⋅ I M = + R2 ⋅ EM ⋅ cosδ ( A⋅ cosϕ − B ⋅ sen ϕ) ⋅ I = −R ⋅ E ⋅ sen δ dove: M ( R1 + R2 ) ; B R1R2 2 M [4.32] A = −ωL = [4.33] Elevando al quadrato ciascun membro di ciascuna equazione della [4.32] e sommando membro a membro: = R 2 2 2 2 2 2 2 2 ( A cos ϕ + 2ABcosϕ ⋅sin ϕ + B sin ϕ + A sin ϕ − 2AB cosϕ ⋅sin ϕ + B cos ϕ) 2 2 2 E ⋅ ( cos δ + sin δ) 2 M ⋅ 2 2 M I quindi: 2 M 2 2 2 2 ( A + B ) R E 2 M = [4.34] I ⋅ = [4.35] da cui si trova il valore del modulo. Per quanto riguarda la fase, si procede sommando o sottraendo membro a membro le due equazioni [4.32] moltiplicate per A o B: I I M M 2 2 ( A + B ) ⋅ cos ϕ = R E ⋅ ( Acos δ + B sin δ) ⋅ ⋅ 2AB ⋅sin ϕ = R E da cui: 2AB B cosδ − Asin δ tan ϕ = 2 2 A + B Acosδ + Bsin δ 2 M 2 M ⋅ ( B cos δ − Asin δ Dalle due espressioni [4.36] e [4.37] si evince tra l'altro che: ) - il modulo della corrente dipende dal modulo della forzante, ma non dalla sua fase; - la fase della corrente dipende dalla fase della forzante, ma non dal suo modulo. [4.36] [4.37] L'espressione [4.27] con i valori espressi dalle [4.36] e [4.37] è quindi proprio una soluzione permanente dell'equazione differenziale [4.25]; e poiché la soluzione permanente è unica, quella trovata è la soluzione permanente della [4.25]. Il risultato può essere generalizzato: per reti elettriche di qualunque dimensione, con bipoli lineari e forzanti P.A.S.: una volta a regime, cioè quando il transitorio si è esaurito, le funzioni che costituiscono la soluzione - sia le tensioni nodali sia le correnti e le tensioni di lato - sono sempre funzioni di tipo P.A.S.. Ovviamente, se sono presenti forzanti P.A.S. a frequenze diverse, in generale ogni corrente e ogni tensione nodale sarà la somma di più componenti P.A.S., una per ogni frequenza di forzante. Questo discende dalla linearità della rete, che permette la sovrapposizione degli effetti: ogni componente di frequenza sarà la soluzione dovuta all'effetto delle sole forzanti che a tale frequenza lavorano. Benché questa situazione sia possibile e il metodo della sovrapposizione degli effetti permetta di analizzarla abbastanza agevolmente, in quanto segue ci si limiterà a studiare casi in cui le forzanti siano tutte ad una stessa frequenza, che potrà essere così considerata la frequenza dell'intera rete. Potrebbe essere conveniente a questo punto utilizzare una notazione esponenziale. Ricordando la formula di Eulero: ( ωt+ ϕ) = ( ωt + ϕ) + j ( ωt + ϕ j e cos sin ) [4.38] per una grandezza P.A.S. basta considerare la sola parte reale: f () t = Re F j( ωt + ϕ) ⋅ e [4.39] ( ) M La notazione esponenziale rende più semplici le operazioni di derivazione: f ′ () t = real jω⋅ F j( ωt + ϕ) ⋅ e [4.40] ( ) M e anche di integrazione (si considera la primitiva senza alcun termine costante, perché questo scompare dopo il transitorio): Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
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