Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 64 di 64
⎡αk
I
⎢
⎣αkV
Lk
Ck
e quindi:
⎡−
⎢
⎣
+ 1 C
⎤ ⎡−
R L
⎥ = ⎢
⎦ ⎣ + 1 C
R L − α
k
−1
L⎤
⎡I
⎥ ⋅ ⎢
− αk
⎦ ⎣V
−1
L⎤
⎡I
⋅ ⎢
0
⎥
⎦ ⎣V
Lk
Ck
Lk
Ck
⎤
⎥
⎦
⎤ ⎡0⎤
⎥ = ⎢ ⎥
⎦ ⎣0⎦
da cui l'equazione caratteristica [4.161].
k = 1,
2
[4.165]
[4.166]
Per quanto riguarda il calcolo dei coefficienti vanno utilizzate le condizioni iniziali e va utilizzato il sistema
[4.165] ovvero [4.166] per trovare altre relazioni tra i coefficienti delle varie funzioni. Per prima cosa vanno
trovati gli autovalori, cioè le soluzioni dell'equazione caratteristica. Per ogni valore di k ( k = 1,
2)
, quindi per
ogni autovalore, si ha un sistema di due equazioni in due incognite; in realtà, essendo il determinante del
sistema nullo, le due equazioni non sono indipendenti, per cui una sola fornisce tutte le informazioni. Così si
potrà scrivere:
⎧I
⎪
V
⎨
⎪
⎪
⎩
L1
C1
+ I
L2
+ V
C 2
= I
= V
( − R L − α1)
I L1
+ ⋅(
−1
L)
⋅
( − R L − α ) ⋅ I + ( −1
L)
2
L0
C0
L2
V
C1
⋅V
= 0
C 2
= 0
[4.167]
Le prime due equazioni del sistema utilizzano le condizioni iniziali, la terza e la quarta utilizzano il sistema
[4.166]. Al posto di queste ultime due si sarebbero anche potute usare le altre equazioni del sistema [4.166],
che sono perfettamente equivalenti essendo tali equazioni linearmente dipendenti:
⎧
⎨
⎩
( + 1 C)
( + 1 C)
⋅
⋅ I
I
L1
L2
+ α ⋅V
1
+ α
2
⋅V
C1
C 2
= 0
= 0
[4.168]
Tornando alla [4.163], si noti che con questo metodo si sarebbe potuto scrivere il sistema considerando non
solo le equazioni e le variabili differenziali, ma anche quelle algebriche. Riprendendo la [4.159] e
procedendo con lo stesso metodo si può infatti scrivere:
⎡αk
L
⎢
⎢
0
⎢ −1
⎢
⎣ −1
R
0
1
0
0
1
0
1
1 C ⎤ ⎡I
⎢
− α
⎥
kC
⎥ ⋅ ⎢I
0 ⎥ ⎢I
⎥ ⎢
0 ⎦ ⎢⎣
V
Lk
Rk
Ck
Ck
⎤ ⎡0⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
0
= ⎥
⎥ ⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥⎦
⎣0⎦
Il determinante di questa matrice è ancora la solita equazione caratteristica [4.162].
[4.169]
Tale determinante prende il nome di determinante di rete. Il metodo del determinante di rete è un po' più
"standard" di quanto visto in precedenza. In questo modo si evita di eliminare le funzioni algebriche dalle
equazioni differenziali; tuttavia la matrice risulta di ordine maggiore e il calcolo del determinante di rete, in cui
appare l'incognita α , può risultare oneroso; così pure il sistema algebrico per determinare le condizioni
iniziali [4.167] risulterebbe decisamente più pesante.
Inoltre il metodo del determinante di rete, sia considerando tutte le equazioni, siano esse algebriche o
differenziali [4.169], sia procedendo prima a ridurre e considerando il determinante ridotto del solo sistema
differenziale [4.165] / [4.166], prevede di utilizzare tutti i coefficienti nella forma complessa. Il che può non
rendere le cose più agevoli in un calcolo "a mano".
* * *
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011