Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 59 di 64
5) soluzione del sistema o dell'unica equazione differenziale con le condizioni iniziali;
6) ricostruzione del valore delle variabili algebriche.
La fase 1) è come per il regime P.A.S.: occorre "guardare" il circuito e riportare i valori dei parametri
e delle tensioni o correnti dei generatori.
L , R,
C
La fase 2) utilizza i principi di Kirchhoff per scrivere le equazioni che conterranno, ovviamente, dei termini
integrali o differenziali; può utilizzare, volendo, gli stessi metodi del regime permanente (tensioni di nodo,
correnti di lato, correnti di maglia) anche se, come si vedrà in seguito, sarà spesso opportuno utilizzare
metodi "misti", cioè non avere come variabili di stato solo le tensioni o solo le correnti, ma un mix di queste:
ciò richiederà di iniziare a procede in modo intuitivo.
La fase 3) serve ad ottenere un sistema che sia solo di tipo differenziale. Delle equazioni scritte nella fase
precedente, alcune saranno solo algebriche, altre invece integrali e/o differenziali. Le equazioni integrali
vanno derivate, in modo da non avere più termini integrali ma solo differenziali. Le equazioni algebriche
vanno utilizzate in modo da far scomparire, nelle equazioni differenziali, alcune variabili (solitamente quelle
di cui non si presenta alcuna derivata nelle equazioni differenziali originali), in modo che la parte differenziale
del sistema consideri un numero di variabili pari al numero di equazioni disponibili. Il valore delle altre
variabili, dette algebriche, potrà essere ricostruito dal valore trovato per le variabili differenziali, grazie alle
stesse equazioni algebriche usate in questa fase. Questa fase richiede ancora una volta una certa dose di
intuizione.
Con ulteriori processi di riduzione è possibile trasformare un sistema di m equazioni differenziali in m
funzioni incognite in un'unica equazione differenziale, in una sola incognita, di ordine m .
La fase 4) è fondamentale per la soluzione vera e propria. Ogni sistema di equazioni differenziali richiede,
per poter essere risolto completamente, delle condizioni al contorno; in questo caso, visto che il dominio è il
−
tempo, si parla di condizioni iniziali. Queste sono date, solitamente, dallo stato della rete all'istante 0 , vale
+
a dire all'istante immediatamente precedente l'inizio del transitorio. Nell'istante 0 , non appena si è
instaurata la nuova condizione della rete, che evolve in maniera transitoria verso un nuovo regime, le
−
correnti negli induttori e le tensioni sui condensatori dovranno conservare gli stessi valori dell'istante 0 .
Queste informazioni andranno però a volte rielaborate, utilizzando le equazioni algebriche, perché non
sempre tali grandezze sono le variabili di stato scelte per il sistema differenziale o per l'unica equazione,
oppure perché derivando le funzioni integrali queste informazioni non sono più immediatamente utilizzabili.
Questa fase richiede parecchio intuito.
La fase 5) può invece dirsi molto "standard" perché i metodi risolutivi, una volta che equazioni differenziali e
condizioni iniziali sono state poste correttamente, non richiede difficoltà concettuali, ma solo, eventualmente,
un po' di pazienza e di attenzione nei calcoli.
La fase 6) ripercorre all'indietro le operazioni di riduzione della fase 3) e calcola, in funzione delle soluzioni
trovate nella fase 5), i valori delle altre funzioni. Anche questa fase richiede solo attenzione nei calcoli.
Quanto detto potrà essere meglio chiarito con esempi, nel corso dei quali verranno introdotte le regole e le
tecniche necessarie.
Esempio - Circuito RLC serie, spegnimento
Si consideri un circuito composto di una sola maglia, costituita dalla serie di un generatore di tensione, una
induttanza, una resistenza. I parametri sono quindi:
E = E (fase nulla)
L
R
C
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All'istante t0
il generatore viene spento (rimane quindi in corto circuito) e di conseguenza inizia un transitorio
che porterà allo spegnersi delle correnti. Si può scegliere come variabile di stato anche solo la corrente
dell'unica maglia, i . Si potrà allora scrivere un'unica equazione integrale-differenziale:
di 1
L + Ri +
dt C
∫
t
0
() τ
i
dτ
+ V
C0
= 0
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
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