Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 53 di 64
- quando la tensione è massima positiva occorre che la potenza istantanea sia nulla e, se si tratta di un
induttore, stia per diventare negativa, se si tratta di un condensatore, stia per diventare positiva; oppure:
- quando la corrente è massima positiva occorre che la potenza istantanea sia nulla e, se si tratta di un
induttore, stia per diventare positiva, se si tratta di un condensatore, stia per diventare negativa.
In questo caso la tensione sull'induttore:
() t = 2V cosϕ
cos(
ωt
+ α + π 2
v I ) [4.101]
è massima per ωt = − π 2 − α ; in tale istante il termine di potenza istantanea vale:
() t = −VI
sin ϕsin(
2(
ωt
+ α + π 2)
) = −VI
sin ϕsin(
2(
− α − π 2 + α + π 2)
) = −VI
sin ϕsin
0
p I [4.102]
e quindi evolverà verso valori negativi: quindi si tratta proprio di potenza reattiva induttiva.
Si noti che, indicando con l'asterisco i valori complessi coniugati:
per una resistenza:
I =
V
R
=
V
R
⋅ e
jδ
= I ⋅ e
per una induttanza:
V V j
I = = − j ⋅e
jωL
ωL
per una capacità:
jδ
I = jωCV
= jωCV
⋅ e
δ
;
V ⋅ I
= − jI ⋅ e
jδ
*
jδ
= + jI ⋅ e
= V ⋅ e
;
jδ
;
jδ
V ⋅ I
V ⋅ I
⋅ I ⋅ e
*
*
− jδ
= V ⋅e
= V ⋅ e
= VI = P
jδ
jδ
⋅
⋅ j ⋅ I ⋅ e
− jδ
= jVI = jQ
− jδ
( − j ⋅ I ⋅ e ) = − jVI = jQ
[4.103]
[4.104]
[4.105]
in quest'ultimo caso il valore di Q è negativo (e quindi il segno "-" scompare perché inglobato all'interno di Q)
perché un condensatore assorbe potenza reattiva negativa.
Infine, nel caso più generale di più elementi in serie (si potrebbe fare analogamente anche con il parallelo):
V V j(
δ−ϕ)
j(
δ−ϕ)
I = = e = I ⋅ e
Z Z
* j(
δ−δ+
ϕ)
jϕ
V ⋅ I = VI ⋅ e = VI ⋅e
= VI ⋅ ( cosϕ
+ j sin ϕ)
= P + jQ
[4.106]
Quanto visto in questi semplici esempi ha validità generale: il prodotto del fasore della tensione per il
complesso coniugato del fasore della corrente fornisce un numero complesso in cui il coefficiente
della parte reale è la potenza attiva e il coefficiente della parte immaginaria è la potenza reattiva.
Si definisce tale numero complesso:
*
A = V ⋅ I = P + jQ
[4.107]
con il nome potenza apparente. Più comunemente con il termine di potenza apparente si intende
semplicemente il modulo di tale valore, pari al prodotto dei valori efficaci:
A = V I
[4.108]
Si noti anche che:
*
*
2
2
( cos ϕ + j ϕ)
A = P + jQ = V ⋅ I = Z ⋅ I ⋅ I = Z ⋅ I = Z ⋅ I ⋅ sin
[4.109]
*
2
* V V
A = P + jQ = V ⋅ I = V ⋅ = ⋅ ( cos ϕ + j sin ϕ)
[4.110]
*
Z Z
*
*
*
*
2
2
( cosβ
− j β)
A = P + jQ = V ⋅ I = V ⋅Y
⋅V
= Y ⋅V
= Y ⋅V
⋅ sin
[4.111]
2
* I * I
A = P + jQ = V ⋅ I = I = ⋅ ( cosβ
− j sin β)
[4.112]
Y Y
e ricordando che:
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011