Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 43 di 64
Si consideri ora l'equazione omogenea associata: cioè la stessa, ma priva delle forzanti; la soluzione di tale
equazione verrà indicata come i T :
( R ) Li′
+ R R i = 0
R [4.17]
1 + 2 L 1 2 L
L'integrale generale è dato dalla somma di un numero di termini esponenziali pari all'ordine dell'equazione;
in questo caso un solo termine:
() t I ⋅ ( t)
iT 1 exp α1
= [4.18]
il coefficiente dell'esponenziale è la soluzione dell'equazione algebrica associata all'equazione differenziale
omogenea, detta equazione caratteristica dell'equazione differenziale:
( R ) Lλ
+ R R i = 0
R [4.19]
1 + 2 1 2 L
da cui:
− R R
1 2 λ =
[4.20]
L(
R1
+ R2
)
In caso di equazioni differenziali di ordine superiore si ha una corrispondente equazione algebrica di pari
grado, le cui radici possono essere tutte reali o parte reali e parte complesse coniugate.
Deve poi valere:
T
( 0) IL
0 ⇒ I1
IL
0
i = =
[4.21]
Con le condizioni iniziali l'integrale generale dell'equazione omogenea associata è univocamente
determinato.
Si nota che in tutti i casi si presenta uno smorzamento esponenziale. In qualunque rete elettrica lineare
(ove siano presenti resistenze; e sono sempre presenti nei sistemi reali), le soluzioni dell'equazione
caratteristica presentano sempre parti reali negative, qualunque sia l'ordine del sistema. Questo
potrebbe essere dimostrato anche matematicamente, ma è più semplice una considerazione energetica: se
il sistema è privo di forzanti, questo significa che i generatori sono spenti; le correnti possono circolare solo
perché induttori e condensatori cedono o scambiano tutta o parte della energia in essi accumulata. Queste
correnti tuttavia sono dissipative per effetto Joule. Quindi l'energia totale accumulata nei condensatori e
negli induttori non può che diminuire, quindi le correnti sono destinate a smorzarsi. Per questo motivo
la soluzione del sistema omogeneo associato viene chiamata componente transitoria della soluzione
complessiva. La presenza delle forzanti determina la presenza di un'altra componente, che può essere
chiamata componente permanente o di regime. Per una data forzante, la componente permanente è
unica, cioè univocamente determinata. Infatti, se ne esistessero due, per la linearità della rete la loro
differenza sarebbe una soluzione dell'omogenea associata, cioè una componente transitoria, destinata a
scomparire.
Riepilogando: ogni corrente di lato (ma anche ogni tensione di nodo) di una rete elettrica lineare con forzanti
è data dalla somma di una componente transitoria e una permanente:
() t i () t + i () t
i T P
= [4.22]
La soluzione transitoria è una somma di termini esponenziali reali o complessi (esponenziali moltiplicati per
sinusoidi); ha questo nome (transitoria) perché tutti i coefficienti degli esponenziali sono negativi, cioè gli
esponenziali sono tutti smorzanti e tendono a zero. Per determinare i coefficienti moltiplicativi dei vari termini
esponenziali o oscillatori smorzati vanno utilizzate le condizioni iniziali. Il numero dei termini esponenziali o
oscillanti smorzati e il numero delle condizioni iniziali sono pari all'ordine del sistema differenziale. La
soluzione permanente è univocamente determinata in base alle forzanti.
Si nota inoltre che, poiché tutte le condizioni iniziali sono state utilizzate per determinare i coefficienti della
componente transitoria, la componente permanente non dipende dalle condizioni iniziali. Questo significa
che il transitorio permette al circuito di "dimenticare" la sua condizione iniziale, arrivando a
comportarsi solo come le forzanti gli impongono, indipendentemente dal punto di partenza.
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011