Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

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G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 62 di 64 () t ′ () t i i = I ⋅e 1 α1t = α I ⋅e 1 1 + I α1t 2 ⋅e + α α 2t 2 I 2 ⋅e α 2t Confrontando i valori di queste funzioni nell'istante zero con le condizioni iniziali, si ha: I + I = I 1 α I 1 1 2 + α 2 L0 I 2 −V = C0 − RI L L0 che è un semplice sistema di 2 equazioni in 2 incognite, di immediata soluzione. Nel caso di determinante nullo: [4.147] [4.148] R α1 = α2 = − = α [4.149] 2L le radici sono coincidenti negative; la soluzione ha una forma particolare: αt αt () t = I1 ⋅ e + I2 ⋅ t ⋅ e ′ () t = αI αt ⋅ e + I αt ⋅ ( αt + 1) ⋅ e i i 1 2 N.B.: Nel caso di un sistema di ordine maggiore, se si presentano più soluzioni coincidenti: α1 = α2 = K = αm = α [4.151] la componente della soluzione dovuta a tali radici vale: αt 2 m−1 () t = e ⋅( I + I t + I t + I t ) 1 2 3 m [4.150] i K [4.152] Tornando invece a questo sistema di ordine 2, i coefficienti sono determinati da: I = I 1 L0 −V αI + I = 1 2 C0 − RI L L0 che è sempre un sistema banale di soluzione immediata. Nel caso di determinante negativo: 2 [4.153] 2 − R j 4 ⎛ R ⎞ R 1 ⎛ R C ⎞ α1, 2 = m − ⎜ ⎟ = − m j ⎜1 ⎟ = −σ ω0 2 2 2 ⎜ − ⎝ ⎠ 4 ⎟ m j [4.154] L LC L L LC ⎝ L ⎠ Come si vede le radici sono complesse coniugate. Questo vale in generale, per un sistema di qualunque ordine: le radici complesse non si presentano mai sole, ma sempre a due a due complesse coniugate. I coefficienti moltiplicativi I 1 , I 2 saranno complessi coniugati. Questo farebbe pensare a 4 incognite da determinare (2 per ogni coefficiente complesso) con solo 2 condizioni iniziali. In realtà i due coefficienti complessi dovranno essere complessi coniugati, perché solo così la soluzione assumerà istante per istante valori reali. Pertanto le incognite da determinare rimangono sempre 2. Allora la soluzione sarà: ( −k − jω0 ) t * ( −k + jω0 ) t i() t = I1 ⋅ e + I1 ⋅ e = −kt = e ⋅ I + jI ⋅ cos ω t − j sin ω t = e −kt ⋅ [ ( Re Im ) ( 0 0 ) + ( IRe − jIIm ) ⋅ ( cos ω0t + j sin ω0t ] [ ( 2I cos ω t + 2I −kt sin ω t) + j0] = e ⋅ ( I cos ω t + I sin ω t) Re 0 Im 0 c 0 s 0 ) = [4.155] si preferisce usare la forma mista tutta reale esponenziale-trigonometrica piuttosto che la forma esponenziale complessa. Quindi: −kt () t = e ⋅ ( Ic cosω0t + I s sin ω0t) −kt ′ () t = e ⋅ ( ( − kI + ω I ) cosω t + ( − kI − I ω ) sin ω t) i i c 0 s 0 s c 0 Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011 0 [4.156]
G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 63 di 64 I coefficienti sono determinati dalle condizioni iniziali: I C − kI = I C L0 + ω I 0 S −V = C0 − RI L L0 che come sempre è un banale sistema di soluzione immediata. [4.157] Esistono comunque altre strade per calcolare il transitorio. Una forse più standard della precedente consiste nel prendere non una sola variabile di stato, ma due, vale a dire la corrente sull'induttore e la tensione sul condensatore. Si avrebbe quindi: ⎧LiL′ + RiR + vC = 0 ⎪ iC = CvC′ ⎨ ⎪iR = iL ⎪ ⎩iC = iL [4.158] che è un sistema di 2 equazioni differenziali e 2 equazioni algebriche, in due incognite. La corrente sulla resistenza e quella sul condensatore sono variabili algebriche, nel senso che non appare nessuna loro derivata. Si può quindi operare algebricamente perché tali variabili siano eliminate dalle equazioni differenziali, ottenendo due sistemi distinti. ⎧⎧LiL′ + RiL + vC = 0 ⎪⎨ ⎪⎩CvC′ = iL ⎨ ⎪⎧iR = iL ⎪ ⎨ ⎩⎩iC = iL [4.159] Il sistema algebrico si presenta come un sistema dove i termini noti sono le soluzioni del sistema differenziale (in questo caso il sistema algebrico è banale). Il sistema differenziale può essere visto in forma matriciale: ⎡iL′ ⎤ ⎡− R L ⎢ ⎥ = ⎢ ⎣v′ L ⎦ ⎣ + 1 C −1 L⎤ ⎡iL ⎤ ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ 0 ⎦ ⎣vC ⎦ [4.160] Tutte le variabili di stato che appaiono nel sistema saranno governate dalle stesse costanti di tempo di smorzamento e dalle stesse frequenze di oscillazione, e queste saranno date dagli autovalori della matrice: − R L − α −1 C −1 L = 0 − α ( − R L − α) ⋅ ( − α) − ( −1 L) ⋅ ( + 1 C) α 2 + R 1 α + = 0 L LC = 0 Si ritrova quindi la stessa equazione caratteristica. [4.161] [4.162] Le cose possono essere viste anche in questo modo: poiché i coefficienti degli esponenziali sono gli stessi per tutte le variabili di stato, allora queste avranno la forma: i L v () t () t C = I L1 = V ⋅e C1 α1t ⋅e α1t + I L2 + V ⋅e C 2 α2t ⋅e α2t Derivando queste espressioni e considerando la [4.161], dovrà essere: ⎡α1I ⎢ ⎣α1V L1 C1 ⋅e ⋅e α1t α1t + α I 2 L2 + α V 2 C 2 ⋅e ⋅e α2t α2t ⎤ ⎡− R L ⎥ = ⎢ ⎦ ⎣ + 1 C −1 L⎤ ⎡I ⎥ ⋅ ⎢ 0 ⎦ ⎣V L1 C1 ⋅e ⋅e α1t α1t + I L2 + V C 2 ⋅e ⋅e α2t α2t ⎤ ⎥ ⎦ [4.163] [4.164] L'uguaglianza deve valere istante per istante e, poiché ciascuna componente esponenziale evolve indipendentemente dalle altre, l'uguaglianza deve valere per ogni componente esponenziale; pertanto: Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
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