Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 60 di 64
Nell'equazione [4.133] la variabile tempo, t , è stata ri-inizializzata in modo da avere il valore zero in
corrispondenza dell'inizio del transitorio. Inoltre appare la tensione VC
0 , che è la tensione presente sul
condensatore all'istante in cui inizia il transitorio; su di essa si ragionerà fra poco.
Occorre ridurre l'equazione dalla formulazione integrale-differenziale ad una solo differenziale. Questo si
ottiene facilmente derivando:
1
L i′
′ + Ri′
+ i = 0
[4.134]
C
Come si vede si ottiene un'equazione del 2° ordine. Nel circuito infatti sono presenti due elementi che
comportano ciascuno 1 ordine del sistema (o dell'equazione): un induttore e un condensatore. Questa è una
regola generale:
l'ordine del sistema di equazioni differenziali (o dell'unica equazione ad esso corrispondente) è pari
al numero di induttori e di condensatori coinvolti nel transitorio; non vanno considerati induttori e
condensatori in parti del circuito non interessate ai fenomeni transitori; gli induttori serie o i
condensatori in parallelo vanno considerati come un unico elemento.
Occorre ora porre le condizioni iniziali. Anche qui vale una regola strettamente legata alla precedente:
il numero delle condizioni iniziali è pari all'ordine del sistema differenziale e quindi al numero degli
induttori e dei condensatori da considerarsi (vedi regola precedente); si ha una condizione iniziale
sulla tensione di ogni condensatore e sulla corrente di ogni induttore; tali condizioni iniziali
potrebbero richiedere di essere rielaborate o utilizzate in equazioni algebriche per fornirle nella
forma necessaria al sistema di equazioni.
Questo vale perché la corrente negli induttori non può cambiare bruscamente, a scalino: questo
comporterebbe derivata di valore infinito e quindi tensione ai morsetti di valore infinito; analogamente la
tensione sui condensatori non può variare bruscamente, a scalino, perché questo comporterebbe derivata di
valore infinito e quindi valore infinito di corrente.
In questo caso le condizioni iniziali sono: la corrente sull'induttanza e la tensione sul condensatore. Saranno
fornite dal regime P.A.S. preesistente. Si noti che la condizione sulla tensione era già presente nella [4.133]
ed è scomparsa derivando; andrà quindi opportunamente recuperata. L'equazione [4.134] richiede una
condizioni iniziale sulla corrente e una sulla derivata della corrente. La condizione sulla corrente sarà
anch'essa fornita dal regime preesistente, e può essere indicata come I L0
; per quanto riguarda la
condizione sulla derivata si noti che la tensione sull'induttanza vale:
di
vL = L
[4.135]
dt
dove appare la derivata della corrente; deve valere inoltre che la somma delle tensioni su tre componenti,
anche nel primo istante del transitorio, deve dare somma nulla:
v L + vR
+ vC
= 0
[4.136]
Ora:
v
v
v
L
c
( 0)
= Li′
( 0)
( 0)
= Ri(
0)
( 0)
= VC
0
R
Pertanto:
= RI
L0
[4.137]
−VC
0 − RIL
0
I L′
0 = i′
( 0)
=
[4.138]
L
Si è utilizzata l'equazione di Kirchhoff alle maglie per arrivare a questo risultato. In altri casi poteva essere
più vantaggioso utilizzare l'equazione di Kirchhoff ai nodi. Questa è una delle "tecniche" che si possono
comunque usare: si possono sempre utilizzare le equazioni di Kirchhoff ai nodi e alle maglie per
ottenere, da alcune condizioni iniziali in una certa forma, le condizioni iniziali in altra forma, più
opportuna per il sistema o per l'equazione differenziale utilizzati.
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011