Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 21 di 64
una rete di 100 nodi si avrebbe un indice si sparsità, cioè una percentuale di elementi non nulli rispetto al
totale, dell'ordine del 2-3%.
L'implementazione di questi metodi su computer andrà quindi gestita in maniera particolare, in modo da
memorizzare solo gli elementi diversi da zero ed effettuare solo di questi le operazioni matematiche
necessarie alla soluzione del sistema. I metodi e gli algoritmi utilizzati per gestire tale situazione sono detti
"tecniche di sparsità" e permettono la soluzione in tempi rapidi anche di sistemi con migliaia di nodi.
La matrice delle resistenze, inversa della matrice delle conduttanze, non potrà invece essere costruita per
ispezione, e risulterà in generale piena, e non sparsa. Nelle tecniche di sparsità si evita di calcolare tale
matrice, molto ingombrante, ma si risolve il sistema con altri metodi meno dispendiosi.
Il metodo ora descritto si applica a qualunque rete lineare.
Quando si presentino rami con un generatore di corrente già inserito: sia che questo presenti una resistenza
in parallelo sia che sia puramente ideale, non ci sono problemi: va trattato come ogni altra iniezione nodale,
elevando al rango di nodi i suoi due estremi, qualora non lo fossero già; se è ideale, senza resistenze in
parallelo, i due nodi vanno considerati privi di collegamento diretto nella rete passiva (conduttanza nulla).
I problemi sorgono quando si presenti tra due nodi un generatore ideale di tensione. Se uno dei due estremi
è collegato ad un solo altro lato, il problema è facilmente risolto considerando come unico lato la serie dei
due. In ogni altro caso, occorre ricorrere ad altri metodi. La strada suggerita nel paragrafo 3.3 (porre come
ulteriore incognita la corrente del lato-generatore e come ulteriore equazione l'espressione della d.d.p. tra i
due estremi) si presenta come non praticabile con comodità nell'ottica della facile scrittura del sistema con la
matrice delle conduttanze. Occorre seguire un'altra strada, che è la seguente.
Si supponga che il generatore ideale sia posto tra i nodi A e B, orientato da B ad A. Siano C, D, E i nodi
collegati ad A ed F, G i nodi collegati a B. Si procede allora nel seguente modo:
a) si elimina il generatore tra A e B, ponendo quindi i due nodi in cto cto tra loro
b) si inseriscono generatori identici nei rami collegati ad uno dei due estremi, per esempio ad A: A-C, A-D,
A-E; tali generatori saranno orientati ognuno da A verso l'altro estremo; si nominano allora i punti C', D',
E', secondi estremi dei vari generatori (si poteva fare analogamente con i collegamenti di B, anzi era più
comodo perché sono solo 2 anziché 3; i generatori andavano quindi orientati da F', G' verso B)
c) si noti che il lato A-B è così scomparso e i due nodi A e B sono diventati un nodo solo
Il circuito così ottenuto è del tutto equivalente a quello di partenza. Per esempio si nota che tutti i componenti
contenuti nell'ex-ramo A-C sono ora nel troncone C'-C, e il potenziale di C' (rispetto a B, per esempio) è lo
stesso che in precedenza possedeva A.
In questo circuito si possono fare gli equivalenti di corrente dei generatori perché ora sono posti in serie con
rami non privi di resistenze, e quindi tornare al metodo descritto.
In sintesi, il metodo automatico qui descritto può essere schematizzato nei seguenti passaggi:
1) numerazione di tutti i nodi, meno uno, con scelta libera di considerare nodi anche i punti tra due soli lati
o gli estremi in antenna; numerazione e orientamento dei lati
2) "riproduzione" dei generatori di tensione posti in lati privi di resistenza serie nei lati collegati, come
descritto poco sopra
3) trasformazione dei rami E-R (generatori di tensione in serie con resistenze) in componenti A-G
(generatori di corrente con in parallelo una conduttanza)
4) calcolo delle iniezioni nodali, somma delle iniezione dei componenti A-G
5) costruzione, per ispezione, dalla matrice delle conduttanze
6) soluzione del sistema [ G ] ⋅[
V ] = [ A]
, (manualmente o col computer)
7) calcolo delle correnti nei lati, ricostruzione dei circuiti originali, etc. (con le tensioni nodali calcolate tutto
è a portata di mano)
2.8 - Cenni alle reti elettriche non lineari
Una rete elettrica viene considerata non più lineare quando non è più lineare almeno uno dei suoi
componenti, sia esso attivo oppure passivo.
Per esempio certe resistenze presentano una caratteristica del tipo:
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011