Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

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G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 52 di 64 jϕ Z = R + jωL = Z ⋅ e [4.91] Si ricorda che: 2 2 2 Z = R + ω L e ϕ = arctan ( ωL R) [4.92] j Considerando che la corrente nella serie valga: I = I ⋅e α si ha: j( α+ ϕ) j( α+ ϕ) jδ V = Z ⋅ I = ZI ⋅e = V ⋅e = V ⋅e [4.93] in valori istantanei: () t = 2V cos( ωt + δ) = 2V cos( ωt + α + ϕ) = 2V ( cosϕ cos( ωt + α) − sin ϕsin( ωt + α) ) () t = 2I cos( ωt + α) v i e quindi la potenza istantanea vale: p = = () t = 2V ( cos ϕcos( ωt + α) − sin ϕsin( ωt + α) ) ⋅ 2I cos( ωt + α) 2VI ( cosϕ cos ( ωt + α) sin ϕcos( ωt + α) sin( ωt + α) = VI( cosϕ( 1+ cos( 2( ωt + α) ) ) − sin ϕsin( 2( ωt + α) ) ) = [4.94] 2 ) [4.95] Si possono notare due termini: il primo, moltiplicato per il coseno dell'angolo dell'impedenza, contiene un valor medio non nullo e una componente oscillante con frequenza doppia; il secondo, moltiplicato per il seno dell'angolo dell'impedenza, contiene solo una componente oscillante con frequenza doppia. Si è in questo modo evidenziata la presenza di potenza attiva e di potenza reattiva: P = VI cos ϕ [4.96] Q = VI sin ϕ I due termini corrispondono rispettivamente alla potenza attiva assorbita dal resistore e alla potenza reattiva assorbita dall'induttore. Volendo si può esaminare cosa succede sui singoli bipoli. Per fare questo, occorre considerare la serie dei due elementi come un partitore di corrente: V V V = + [4.97] R I questo va trattato come in c.c., ma utilizzando le impedenze invece delle sole resistenze e, ovviamente, la notazione fasoriale (si ricorda che: Z = R + jX = Z cos θ + jZ sin θ ): V V R I R R j( δ−ϕ) Z cos ϕ j( δ−ϕ) jα = V = V ⋅ e = V ⋅ e = V cos ϕ⋅ e Z Z Z jωL ωL j( δ+ π 2−ϕ) Z sin ϕ j( δ+ π 2−ϕ) j( α+ π 2) = V = V ⋅ e = V ⋅ e = V sin ϕ⋅ e Z Z Z Quindi: = VI () t = 2V cos( ωt + α) ⋅ 2 2I cos( ωt + α) = 2V cosϕ ⋅ I cos ( ωt + α) cosϕ( 1+ cos( 2( ωt + α) ) ) pR R = () t = 2V cos( ωt + α + π 2) ⋅ 2I cos( ωt + α) = −2V sin ϕsin( ωt + α) ⋅ I cos( ωt + α) −VI sin ϕsin( 2( ωt + α) ) pI I = = [4.98] [4.99] [4.100] Il segno "-" in quest'ultima espressione e nella [4.95] per il termine che attiene al reattivo non deve far pensare che tale potenza sia negativa. Essendo oscillante, il termine cambia di segno 2 volte per ogni periodo. Per valutare se tale potenza reattiva sia positiva o negativa si possono scegliere due strade. La prima, che è la più semplice, è quella di considerare che, se si tratta di un induttore, la potenza reattiva va considerata comunque positiva assorbita (negativa assorbita se si tratta di un condensatore) La seconda strada, più complessa, richiede di confrontare tale termine con la tensione e la corrente sul singolo elemento: poiché tale termine è pari al prodotto delle due grandezze. La corrente è in quadratura con la tensione, in anticipo se si tratta di un induttore e in ritardo se si tratta di un condensatore. Allora: Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 53 di 64 - quando la tensione è massima positiva occorre che la potenza istantanea sia nulla e, se si tratta di un induttore, stia per diventare negativa, se si tratta di un condensatore, stia per diventare positiva; oppure: - quando la corrente è massima positiva occorre che la potenza istantanea sia nulla e, se si tratta di un induttore, stia per diventare positiva, se si tratta di un condensatore, stia per diventare negativa. In questo caso la tensione sull'induttore: () t = 2V cosϕ cos( ωt + α + π 2 v I ) [4.101] è massima per ωt = − π 2 − α ; in tale istante il termine di potenza istantanea vale: () t = −VI sin ϕsin( 2( ωt + α + π 2) ) = −VI sin ϕsin( 2( − α − π 2 + α + π 2) ) = −VI sin ϕsin 0 p I [4.102] e quindi evolverà verso valori negativi: quindi si tratta proprio di potenza reattiva induttiva. Si noti che, indicando con l'asterisco i valori complessi coniugati: per una resistenza: I = V R = V R ⋅ e jδ = I ⋅ e per una induttanza: V V j I = = − j ⋅e jωL ωL per una capacità: jδ I = jωCV = jωCV ⋅ e δ ; V ⋅ I = − jI ⋅ e jδ * jδ = + jI ⋅ e = V ⋅ e ; jδ ; jδ V ⋅ I V ⋅ I ⋅ I ⋅ e * * − jδ = V ⋅e = V ⋅ e = VI = P jδ jδ ⋅ ⋅ j ⋅ I ⋅ e − jδ = jVI = jQ − jδ ( − j ⋅ I ⋅ e ) = − jVI = jQ [4.103] [4.104] [4.105] in quest'ultimo caso il valore di Q è negativo (e quindi il segno "-" scompare perché inglobato all'interno di Q) perché un condensatore assorbe potenza reattiva negativa. Infine, nel caso più generale di più elementi in serie (si potrebbe fare analogamente anche con il parallelo): V V j( δ−ϕ) j( δ−ϕ) I = = e = I ⋅ e Z Z * j( δ−δ+ ϕ) jϕ V ⋅ I = VI ⋅ e = VI ⋅e = VI ⋅ ( cosϕ + j sin ϕ) = P + jQ [4.106] Quanto visto in questi semplici esempi ha validità generale: il prodotto del fasore della tensione per il complesso coniugato del fasore della corrente fornisce un numero complesso in cui il coefficiente della parte reale è la potenza attiva e il coefficiente della parte immaginaria è la potenza reattiva. Si definisce tale numero complesso: * A = V ⋅ I = P + jQ [4.107] con il nome potenza apparente. Più comunemente con il termine di potenza apparente si intende semplicemente il modulo di tale valore, pari al prodotto dei valori efficaci: A = V I [4.108] Si noti anche che: * * 2 2 ( cos ϕ + j ϕ) A = P + jQ = V ⋅ I = Z ⋅ I ⋅ I = Z ⋅ I = Z ⋅ I ⋅ sin [4.109] * 2 * V V A = P + jQ = V ⋅ I = V ⋅ = ⋅ ( cos ϕ + j sin ϕ) [4.110] * Z Z * * * * 2 2 ( cosβ − j β) A = P + jQ = V ⋅ I = V ⋅Y ⋅V = Y ⋅V = Y ⋅V ⋅ sin [4.111] 2 * I * I A = P + jQ = V ⋅ I = I = ⋅ ( cosβ − j sin β) [4.112] Y Y e ricordando che: Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
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