Dispensa I - Università degli Studi di Pavia
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G. Pasini Corso <strong>di</strong> Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami <strong>di</strong> elettrotecnica p. 63 <strong>di</strong> 64<br />
I coefficienti sono determinati dalle con<strong>di</strong>zioni iniziali:<br />
I<br />
C<br />
− kI<br />
= I<br />
C<br />
L0<br />
+ ω I<br />
0<br />
S<br />
−V<br />
=<br />
C0<br />
− RI<br />
L<br />
L0<br />
che come sempre è un banale sistema <strong>di</strong> soluzione imme<strong>di</strong>ata.<br />
[4.157]<br />
Esistono comunque altre strade per calcolare il transitorio. Una forse più standard della precedente consiste<br />
nel prendere non una sola variabile <strong>di</strong> stato, ma due, vale a <strong>di</strong>re la corrente sull'induttore e la tensione sul<br />
condensatore. Si avrebbe quin<strong>di</strong>:<br />
⎧LiL′<br />
+ RiR<br />
+ vC<br />
= 0<br />
⎪<br />
iC<br />
= CvC′<br />
⎨<br />
⎪iR<br />
= iL<br />
⎪<br />
⎩iC<br />
= iL<br />
[4.158]<br />
che è un sistema <strong>di</strong> 2 equazioni <strong>di</strong>fferenziali e 2 equazioni algebriche, in due incognite. La corrente sulla<br />
resistenza e quella sul condensatore sono variabili algebriche, nel senso che non appare nessuna loro<br />
derivata. Si può quin<strong>di</strong> operare algebricamente perché tali variabili siano eliminate dalle equazioni<br />
<strong>di</strong>fferenziali, ottenendo due sistemi <strong>di</strong>stinti.<br />
⎧⎧LiL′<br />
+ RiL<br />
+ vC<br />
= 0<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩CvC′<br />
= iL<br />
⎨<br />
⎪⎧iR<br />
= iL<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎩⎩iC<br />
= iL<br />
[4.159]<br />
Il sistema algebrico si presenta come un sistema dove i termini noti sono le soluzioni del sistema<br />
<strong>di</strong>fferenziale (in questo caso il sistema algebrico è banale).<br />
Il sistema <strong>di</strong>fferenziale può essere visto in forma matriciale:<br />
⎡iL′<br />
⎤ ⎡−<br />
R L<br />
⎢ ⎥ = ⎢<br />
⎣v′<br />
L ⎦ ⎣ + 1 C<br />
−1<br />
L⎤<br />
⎡iL<br />
⎤<br />
⎥ ⋅ ⎢ ⎥<br />
0 ⎦ ⎣vC<br />
⎦<br />
[4.160]<br />
Tutte le variabili <strong>di</strong> stato che appaiono nel sistema saranno governate dalle stesse costanti <strong>di</strong> tempo <strong>di</strong><br />
smorzamento e dalle stesse frequenze <strong>di</strong> oscillazione, e queste saranno date dagli autovalori della matrice:<br />
− R L − α<br />
−1<br />
C<br />
−1<br />
L<br />
= 0<br />
− α<br />
( − R L − α)<br />
⋅ ( − α)<br />
− ( −1<br />
L)<br />
⋅ ( + 1 C)<br />
α<br />
2<br />
+<br />
R 1<br />
α + = 0<br />
L LC<br />
= 0<br />
Si ritrova quin<strong>di</strong> la stessa equazione caratteristica.<br />
[4.161]<br />
[4.162]<br />
Le cose possono essere viste anche in questo modo: poiché i coefficienti <strong>degli</strong> esponenziali sono gli stessi<br />
per tutte le variabili <strong>di</strong> stato, allora queste avranno la forma:<br />
i<br />
L<br />
v<br />
() t<br />
() t<br />
C<br />
= I<br />
L1<br />
= V<br />
⋅e<br />
C1<br />
α1t<br />
⋅e<br />
α1t<br />
+ I<br />
L2<br />
+ V<br />
⋅e<br />
C 2<br />
α2t<br />
⋅e<br />
α2t<br />
Derivando queste espressioni e considerando la [4.161], dovrà essere:<br />
⎡α1I<br />
⎢<br />
⎣α1V<br />
L1<br />
C1<br />
⋅e<br />
⋅e<br />
α1t<br />
α1t<br />
+ α I<br />
2 L2<br />
+ α V<br />
2 C 2<br />
⋅e<br />
⋅e<br />
α2t<br />
α2t<br />
⎤ ⎡−<br />
R L<br />
⎥ = ⎢<br />
⎦ ⎣ + 1 C<br />
−1<br />
L⎤<br />
⎡I<br />
⎥ ⋅ ⎢<br />
0 ⎦ ⎣V<br />
L1<br />
C1<br />
⋅e<br />
⋅e<br />
α1t<br />
α1t<br />
+ I<br />
L2<br />
+ V<br />
C 2<br />
⋅e<br />
⋅e<br />
α2t<br />
α2t<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
[4.163]<br />
[4.164]<br />
L'uguaglianza deve valere istante per istante e, poiché ciascuna componente esponenziale evolve<br />
in<strong>di</strong>pendentemente dalle altre, l'uguaglianza deve valere per ogni componente esponenziale;<br />
pertanto:<br />
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011