Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

More documents

Recommendations

Info

G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 18 di 64 Si indichino: R X la resistenza a stella con X e H, con X (maiuscola) = A,B,C R x la resistenza a triangolo tra y e z, con x,y,z (minuscole) = A,B,C, a rotazione Valgono allora le seguenti relazioni: R R A a RbRc = R + R + R R = a A R B b c + RAR R A C + R B R C per le altre resistenze (indici B, C, b, c) basta ruotare di conseguenza gli indici al secondo membro. [2.22] In particolare, se le tre resistenze a stella sono uguali, lo sono anche quelle a triangolo, e viceversa; in tal caso le resistenze a triangolo sono 3 volte maggiori di quelle a stella. 2.7 - Metodi matriciali per l'analisi delle reti elettriche lineari I metodi fin qui indicati sono validi per reti lineari di qualunque dimensione. Risulta però comodo automatizzare il calcolo della soluzione, facendo uso di mezzi di calcolo elettronici, e questo può essere effettuato utilizzando modelli e strumenti di analisi delle reti che fanno uso delle matrici. Si consideri una rete che presenti N nodi e L lati. Va premesso che a volte può interessare, soprattutto con questi metodi automatici, ottenere direttamente dalla soluzione del sistema la tensione in un punto intermedio di un ramo, per esempio il punto di separazione tra due resistenze in serie o tra una resistenza e un generatore. Tale punto separa due tronconi di ramo, e quindi non potrebbe essere considerato come nodo, secondo la definizione precedente, che prevedeva il nodo come punto di incontro tra almeno tre rami. Tuttavia anche per questo punto sono applicabili i principi di Kirchhoff, quindi la definizione di nodo potrebbe essere estesa. In fase di studio della rete si devono quindi considerare come nodi i punti che separano almeno tre rami e si possono, a libera scelta, considerare come nodi anche i punti che separano due tronconi di lato, che quindi verranno considerati come lati distinti. Fatte queste scelte preliminari, si assegni ad ogni nodo un numero progressivo, da 1 ad N , e lo stesso si faccia per ogni lato, da 1 ad L ; ad ogni lato inoltre si assegni un verso convenzionalmente positivo, in modo che i suoi due estremi siano considerati uno come estremo entrante e l'altro come estremo uscente per la corrente. E' possibile allora definire la matrice di incidenza nodo-lato (o semplicemente matrice di incidenza), come quella matrice [ C′ di dimensioni ( N × L ), tale che: [ C ] = [ c′ ] con: ik ] ′ [2.23] c = + 1 se il lato k afferisce al nodo i , e questo è il nodo entrante del lato k ′ik c = −1 se il lato k afferisce al nodo i , e questo è il nodo uscente del lato k ′ik c = 0 se il lato k non afferisce al nodo i ′ik Si noti che questa matrice presenta: - su ogni riga i tanti elementi diversi da zero quanti sono i collegamenti di quel nodo i -esimo - su ogni colonna k (lato k -esimo) solo 2 elementi diversi da zero, di valore +1 e -1. Ma più comunemente si usa la matrice di incidenza ridotta [ C ] , definita come la precedente, ma con la differenza che si utilizzano N −1 nodi anziché N perché un nodo è stato scelto come nodo di riferimento. Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 19 di 64 Si definiscono poi la matrice delle resistenze di lato [ R l ] e la matrice delle conduttanze di lato [ G l ] , di dimensioni ( L × L ), che presentano elementi diversi da zero solo sui termini diagonali; ciascun termine diagonale presenta il valore rispettivamente della resistenza e della conduttanza del lato corrispondente. ] Si noti che, indicando con [ Il il vettore colonna che contiene, per ogni elemento, il valore della corrente di lato misurata con il verso stabilito come positivo per il lato in cui fluisce, si ha che: [] I [ C][ ⋅ I ] = [2.24] l [] I è un vettore colonna che contiene, per ogni elemento i , il valore della corrente che dal nodo i-esimo fluisce verso tutti i nodi a questo collegati, attraverso i rami che partono dal nodo i stesso. Questa corrente, per il principio di Kirchhoff ai nodi, è nulla, a meno che non si presenti nel nodo un ulteriore elemento, non considerato nella matrice di incidenza, che dall'esterno inietti corrente nella rete, in modo che la somma delle correnti che fluiscono dal nodo verso i lati è pari alla corrente iniettata dall'esterno nel nodo (il principio di K. viene così ancora rispettato). Questo elemento potrebbe essere un generatore ideale di corrente, collegato con il suo secondo estremo a terra (o, che è lo stesso, al nodo di riferimento). Si nota allora come questa formulazione matriciale potrebbe aiutare a scrivere le equazioni di Kirchhoff ai nodi in maniera sistematica. Si noti pure che, utilizzando la matrice di incidenza ridotta, si avranno le equazioni per tutti i nodi meno uno, quello scelto come riferimento; ma questa perdita non è grave, anzi è opportuna, perché questa equazione è linearmente dipendente dalle altre. Si noti anche che, considerando il vettore colonna delle tensioni nodali, [ V ] , si ha che: t [ C ] [ V ] = [ V ] con ⋅ [2.25] [ ] [ v ] V l l, k l = dove: vl, k = Vi −V j [2.26] ] il vettore colonna [ Vl così ottenuto presenta, per ogni elemento k -esimo, la tensione applicata al lato k , pari cioè alla d.d.p. tra il nodo i (estremo entrante di k ) e il nodo j (estremo uscente di k ). Si noti che se uno dei due estremi di un lato fosse il nodo di riferimento, la matrice di incidenza non riporterebbe nulla (manca la riga corrispondente), ma questo va bene perché in quel nodo la tensione è nulla per definizione. Poiché per ogni lato k tra i nodi i e j vale: k ij k ( V −V E ) I = I = G ⋅ + [2.27] i j k allora, definendo [ E l ] come il vettore colonna delle tensioni generate di lato, vale che: ( ) t [ I ] [ G ] ⋅ [ C] ⋅[ V ] + [ E ] l = [2.28] l l e quindi, combinando questa equazione con la [2.24]: ( ) t [] I [ C][ ⋅ I ] = [ C][ ⋅ G ] ⋅ [ C] ⋅[ V ] + [ E ] = [2.29] l l l Questa scrittura ci porta verso una formulazione abbastanza compatta del metodo dei potenziali di nodo. La formula [2.29] presenta però il termine dovuto alle tensioni dei generatori che complica un po' le cose. Conviene allora procedere in questo modo. Prima di applicare il metodo, si considerano tutti i lati dove sono presenti dei generatori di tensione. Questi saranno, in generale, in serie con delle resistenze. E' allora possibile trasformare questi lati negli equivalenti che presentano un generatore di corrente, posto in parallelo allo stesso valore di resistenza posto in serie al generatore di tensione originale, ed erogante una corrente A pari a: A = E R [2.30] in questo modo la rete presenterà solo bipoli passivi e degli iniettori di corrente in ogni nodo che sia estremo di un lato ove era presente un generatore di tensione. Questa procedura rende ancora più frequente la possibilità di considerare come nodi anche i punti tra due tronconi di lato: spesso è proprio in tali punti che viene posizionata l'iniezione di corrente. Si consideri infatti un lato che presenti in serie una resistenza e un generatore reale di f.e.m.: il generatore reale è composto dalla serie di un generatore ideale e di una resistenza. Si può allora procedere in due modi: a) conglobare la Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
Page 1 and 2: G. Pasini Corso di Impianti Elettri
Page 17: G. Pasini Corso di Impianti Elettri

Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?