Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 47 di 64
Questo termine serve a calcolare il valore delle varie grandezze istante per istante, ma di fatto non introduce
alcuna informazione significativa: per una data frequenza, una grandezza P.A.S. è univocamente definita
quando di essa sono dati modulo e fase. Il termine può essere semplificato, dividendo per esso entrambi i
membri della [4.49]:
i
L
() t
() t
jδ
e
jϕ
EM
⋅e
= ⇒ I ⋅ =
jθ
M e
jθ
Z ⋅e
Z ⋅e
[4.51]
Questa espressione fornisce tutte le informazioni necessarie e sufficienti: noti i valori della tensione i modulo
e fase, noto il valore dei termini al denominatore, si ottengono immediatamente modulo e fase della corrente.
Per conoscere il valore istantaneo della corrente, basta utilizzare la [4.23] con tali modulo e fase.
Si potrebbe allora visualizzare ogni grandezza tipo tensione o corrente come un vettore nel piano
complesso, avente un estremo nell'origine, lunghezza pari al modulo, e ruotante nel piano complesso,
intorno all'origine, con velocità angolare ω; all'istante 0 si trova inclinato, rispetto all'asse reale, di angolo pari
alla fase. Il valore istantaneo della grandezza è dato dalla proiezione del vettore sull'asse reale. La sua
derivata è un vettore sfasato di 90° in anticipo, e amplificato di un valore pari alla frequenza angolare.
Con un rete elettrica si avrebbe un intero sistema di vettori rotanti, tutti tra loro isofrequenziali. Si potrebbe
allora "fotografare" il sistema dei vettori in un dato istante, per esempio in t=0: si evidenzierebbero le fasi di
ogni vettore, e quindi le differenze di fase tra di essi. Essendo il sistema isofrequenziale, "fotografandolo" di
nuovo in altro istante qualunque, esso apparirebbe tutto quanto ruotato, ma gli angoli relativi tra i vari vettori
sarebbero invariati.
Allora la rappresentazione più sintetica di un sistema di grandezza P.A.S. consiste proprio nella "fotografia"
del sistema in un dato istante, per esempio l'istante t=0. Ogni grandezza verrebbe rappresentata con un
vettore fisso: il valore istantaneo viene ottenuto ruotando tale vettore del valore in radianti pari ad ωt, oppure
calcolando il coseno di tale angolo più la fase iniziale. I vettori così "fissati" prendono il nome di fasori,
proprio perché indicano la fase, oltre al modulo, della grandezza in questione; su molti testi vengono ancora
chiamati genericamente vettori.
Ogni grandezza P.A.S. si indica quindi con il numero complesso, in forma cartesiana o polare,
corrispondente al suo fasore; si usano solitamente le lettere maiuscole:
V = V ⋅e
I = I ⋅e
jδ
jϕ
= V
= I
Re
Re
+ jV
+ jI
Im
Im
[4.52]
Per quanto riguarda il modulo, generalmente, anziché il valore massimo, si usa generalmente un altro
valore, detto valore efficace:
FM F = [4.53]
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il motivo di questa scelta sarà chiaro in seguito, quando si parlerà delle potenze.
Il fasore della derivata o dell'integrale di una grandezza, per quando detto sopra, è ancora un fasore, sfasato
di 90° rispettivamente in anticipo o in ritardo rispetto alla grandezza originaria, e di modulo pari al modulo
della grandezza originaria rispettivamente moltiplicato o diviso per la frequenza. Si noti che sfasare di 90° un
fasore significa semplicemente moltiplicarlo o dividerlo per l'unità immaginaria j .
Riepilogando:
fasore:
jϕ
F = F ⋅e
[4.54]
derivata: jω F
[4.55]
integrale:
F
jω
= −
F
j
ω
valore istantaneo: () t = ⋅ F ⋅ ( ωt
+ ϕ
[4.56]
f 2 cos ) [4.57]
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011