Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 57 di 64
bipolo è percorso da corrente infinita. In realtà un effetto resistivo esiste sempre, anche minimo, e questa
limita la corrente, che assume valori finiti ma molto grandi.
Se il valore della frequenza non è esattamente quello indicato dalla [4.125], ma è molto vicino ad esso, il
valore dell'impedenza (trascurando gli effetti resistivi) non è nullo, ma è comunque molto grande. In un
diagramma ω − Z si presenta un asintoto in corrispondenza del valore di frequenza indicato dalla [4.125].
Si supponga ora di considerare un circuito composto da una sola maglia, con un generatore di tensione, un
condensatore e una impedenza. Ad un dato istante, che possiamo indicare come istante 0 , il generatore
viene spento. In quell'istante il condensatore presenterà un certo valore di tensione e l'induttanza un certo
valore di corrente. Si potrà allora scrivere l'equazione differenziale che descrive il transitorio, con le
condizioni iniziali:
⎧ 1 t
di
⎪ ∫ i()
τ dτ
+ V + =
0
C0
L 0
C dt
⎨
[4.127].
⎪i(
0)
= I L0
⎩
Per procedere occorre derivare. Derivando si perde l'informazione sulla tensione iniziale del condensatore,
che va recuperata per imporre una seconda condizione iniziale. Ricordando che comunque deve valere che
la somma delle tensioni sul condensatore e sull'induttore deve dare valore zero, anche nell'istante iniziale, e
che nell'istante iniziale la tensione sul condensatore è data proprio da tale valore iniziale mentre la tensione
sull'induttore è data dal prodotto dell'induttanza per la derivata della corrente, si ottiene una seconda
equazione per le condizioni iniziali. Pertanto, derivando:
2 ⎧ i d i
⎪ + L = 0 2 ⎪C
dt
⎨
⎪
i(
0)
= IC
0
⎪⎩
Li′
( 0)
= −VC
0
L'equazione caratteristica sarà pertanto:
α
2
1
+ = 0
LC
da cui:
[4.128]
[4.129]
1
α = m j
[4.130]
LC
quindi le soluzioni dell'equazione differenziale sono di tipo oscillatorio, non smorzate per la mancanza di
termini resistivi (che nella realtà esistono), e con frequenza angolare:
1
ω 0 = Im α =
[4.131]
LC
Questo valore si chiama frequenza propria del sistema, o frequenza di oscillazione libera. Come si vede
essa coincide con il valore della [4.125]. Questa frequenza angolare prende allora anche il nome di
frequenza di risonanza:
fornendo ad un circuito LC una tensione di frequenza pari alla frequenza libera di oscillazione, il
sistema entra in risonanza: presenta cioè valore di impedenza nulla, se non per gli effetti resistivi.
Il fenomeno non è tipico solo dei circuiti elettrici, ma di molte altre situazioni fisiche: ovunque esista un
sistema che abbia una sua frequenza propria di oscillazione, si può presentare il fenomeno della risonanza.
Per esempio è un fenomeno di risonanza la vibrazione rumorosa dei vetri delle finestre quando in strada c'è
un motore diesel al minimo: la lastra di vetro viene eccitata dal diesel alla sua frequenza di risonanza;
oppure il diapason che suona, senza essere toccato, se vicino viene suonata una nota alla frequenza propria
del diapason.
In condizioni prossime alla risonanza la tensione sul bipolo L − C è molto piccola, ed è nulla in caso di
perfetta risonanza senza resistenze. Tuttavia è molto importante notare che, sebbene la tensione
complessiva sia molto piccola o nulla, la tensione sui singoli componenti è invece molto grande, al limite
infinita. Infatti:
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011