Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

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G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 32 di 64 Si possono quindi indicare subito i valori delle auto induttanze per i due avvolgimenti, considerando per ciascuna che sia "acceso" il proprio generatore di f.m.m. e "spento" (in cto cto) l'altro: L L 11 22 = N 2 1 = N 1 R( a) 2500 = 10600 1 R( b) 3600 = 10000 2 2 = 0. 236H = 0. 360H Oltre all'effetto auto induttivo, va considerato che il flusso generato da ogni avvolgimento concatena almeno in parte anche l'altro; quindi, se tale flusso è variabile nel tempo, genererà tensione nell'altro avvolgimento. In questo caso il flusso generato dal generatore di f.m.m. 1 (con il generatore 2 spento) si ripartirà nei due rami b e c in proporzione al reciproco delle rispettive riluttanze, in maniera tale da presentare la stessa caduta di tensione (analogia elettrica per i circuiti magnetici) sui due rami. Si tratta quindi di un partitore di flusso, l'analogo magnetico di un partitore di corrente: Φ1 = −Φb1 − Φc1 Φ ⋅R = Φ ⋅R b1 b c1 c dove si utilizza il segno negativo perché se il flusso generato è positivo nel ramo a , sarà orientato negativamente nei rami b e c . Quindi vale: Φ b1 = − e poiché: Rc R + R b N1 ⋅i1 Φ 1 = R( a) si ha: M 21 c Φ 1 Rc 1 7200 1 = − N2N1 = − ⋅50⋅ 60⋅ = −0. 150H Rb + Rc R( a) 13600 10600 Mentre le auto induttanze sono sempre positive, le mutue induttanze sono positive o negative a seconda dei reciproci orientamenti degli avvolgimenti coinvolti. In questo caso, percorrendo una maglia che comprendesse entrambi i rami con avvolgimenti elettrici, i due avvolgimenti presentavano versi discordi, da cui il segno negativo. Il procedimento ora seguito va ripetuto per calcolare la mutua induttanza M12 , che esprime il rapporto tra valore del flusso concatenato dall'avvolgimento 1 e la corrente che lo genera, nell'avvolgimento 1. Si trova quindi: M 12 R c 1 7200 1 = − N1N 2 = − ⋅60⋅ 50⋅ = −0. 150H R a + R c R ( b) 14400 10000 Si nota che: M = M 12 21 Non si tratta di una coincidenza numerica: si dimostra che le mutue induttanze sono sempre simmetriche. 3.5 - Energia Magnetica Ogni campo magnetico comporta sempre la presenza di energia, che prende appunto il nome di energia magnetica. E' necessario compiere lavoro per creare un campo magnetico: tale lavoro non viene dissipato (per effetto Joule o in altro modo), ma viene accumulato dal campo magnetico stesso, che potrà restituirlo quando i valori di campo e di induzione torneranno a zero. L'energia è localizzata in ogni punto dello spazio dove si presenti un valore non nullo di campo, secondo questa formula: Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 33 di 64 dE B = 1 1 2 1 B BHdV = μ0μr H dV = 2 2 2 μ μ 0 2 r dV Quindi integrando sull'intero volume in cui è presente il campo si ottiene l'energia magnetica totale: E B 1 = 2 1 2 ∫ BHdV = ∫ μ μ = V V 0 rH dV 2 2 ∫V μ μ 1 B 0 2 r dV [3.35] [3.36] Se si considera per esempio un semplice circuito magnetico, costituito da una sola maglia, di sezione regolare A e di lunghezza totale l , di materiale con caratteristiche magnetiche omogenee, si può facilmente calcolare l'energia magnetica totale in esso presente, dato che in esso il campo sarà uniforme. E B = 0 2 1 B 2 μ μ r Al [3.37] Il campo magnetico sarà generato dalla corrente che scorre in una serie di spire avvolte nel campo magnetico stesso. Tale corrente vale I , con la condizione: NI NI B B A μ μ = = ⇒ = ⋅ R R A r = Φ 0 NI l Si supponga di essere arrivati a tale valore facendo crescere la corrente linearmente da zero: [3.38] t i () t = I [3.39] T dove T è il tempo totale impiegato. Allora ai morsetti dell'avvolgimento si presenta, per effetto induttivo, una tensione: v () t () t 2 di I N I = L = L = [3.40] dt T R T con la scelta fatta per la funzione i t la tensione è costante. Istante per istante la potenza vale: () I t 2 t p () t = v() t ⋅ i() t = L I = LI [3.41] 2 T T T L'energia fornita dal circuito elettrico a quello magnetico vale allora: T 2 t 1 2 EE → B = ∫ LI dt = LI [3.42] 0 2 T 2 Si ottiene questo stesso risultato qualunque sia l'andamento della corrente nel tempo, purché inizi da 0 e arrivi ad I . Si nota inoltre che: 1 2 2 2 1 N 2 1 LI I = μ0μr = 2 R 2 A N l Combinando la [3.38] e la [3.42]: 2 I 2 2 ( μ μ NI l) 1 A 2 2 1 2 2 1 B 1 0 r EB Al = Al = μ0μr 2 μ0μr 2 μ0μr 2 [3.43] = N I = LI [3.44] l 2 Come si vede quest'ultimo valore di energia (calcolato a partire dalla [3.36] e [3.38]) e il lavoro elettrico espresso dalla [3.42] coincidono, a conferma della validità delle leggi utilizzate. Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
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