Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 61 di 64
Per il calcolo dei valori VC0,
I L0
, il regime P.A.S. preesistente forniva:
I =
V
C
E
Z
E
=
=
jωL
+ R − j ωC
R + j
I I
= − j = e
ωC
ωC
da cui:
− jϕ−
jπ
2
= V
() t = 2I
cos(
ωt
− ϕ)
() t = 2V
cos(
ωt
− ϕ − π 2)
i
v
C
C
C
e
E
( ωL
−1
ωC)
− jϕ−
jπ
2
=
E
Z
e
− jϕ
= I e
dove si usa la vecchia origine dei tempi. Nell'istante in cui avviene il guasto allora:
I
V
L0
C0
=
=
i(
t0
) = 2I
cos(
ωt0
− ϕ)
v ( t ) = 2V
cos(
ωt
− ϕ − π 2)
C
0
C
0
− jϕ
[4.139]
[4.140]
[4.141]
Si può allora scrivere, finalmente, l'equazione differenziale con le sue condizioni iniziali, cioè nella forma del
problema di Cauchy:
⎧ 1
⎪Li′
′ + Ri′
+ i = 0
C
⎪
⎨i(
0)
= I L0
⎪
⎪ −V
− RI
′
C0
L
( ) ⎪
i 0 =
⎩ L
0
[4.142]
La soluzione del problema di Cauchy per equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti di
ordine N in generale è data da:
N
i()
t = ∑ Ik
k = 1
α t
k ⋅e
[4.143]
dove i coefficienti dell'esponenziale sono in generale complessi e così pure i coefficienti moltiplicativi I k . La
somma deve però fornire una soluzione reale, priva di parte immaginaria. Si vedrà in seguito, e si è
comunque già visto nel par. 4.4 - , come affrontare il problema.
Per trovare i coefficienti dell'esponenziale si passa all'equazione caratteristica:
2 1
Lα
+ Rα
+ = 0
C
2 R 1
α + α + = 0
L LC
che fornisce come soluzione:
2
[4.144]
− R 1 ⎛ R ⎞ 4
α1, 2 = m ⎜ ⎟ −
[4.145]
2L
2 ⎝ L ⎠ LC
Si presentano 3 possibilità: determinante positivo, nullo, negativo.
Nel caso di determinante positivo:
α
1,
2
− R R 4L
R ⎛
⎞
⎜
4L
= m 1−
= −1
m 1−
⎟
[4.146]
2
L L R C L ⎜
2
2 2
2
⎟
⎝ R C ⎠
le radici sono entrambe reali, e negative; saranno reali anche i coefficienti moltiplicativi dei due termini
esponenziali. Quindi:
Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011