Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

2.5. OSNOVNE OSOBINE BINARNE RELACIJE 17
Ukoliko je A = B, umjesto oznake A × A, koristi se oznaka A 2 .
Definicija 19 Svaki podskup Dekartovog proizvoda skupova A i B naziva se
binarna relacija iz skupa A u skup B. Ako je A = B za binarnu relaciju se kaˇze
da je definisana na skupu A.
Iz prethodne definicije se zaključuje da je sasvim korektno utvrdivati da li neki
par pripada binarnoj relaciji ρ ⊆ A × B ili ne. Ukoliko je (a, b) ∈ ρ ⊂ A × B,
koristi se oznaka aρb, a ukoliko (a, b) /∈ ρ ⊂ A × B, koristi se oznaka ¬(aρb).
2.5 Osnovne osobine binarne relacije
Definicija 20 Neka je binarna relacija ρ definsana na nepraznom skupu A.
Relacija ρ je:
• refleksivna ako (∀a ∈ A)(aρa),
• antirefleksivna ako (∀a ∈ A)¬(aρa)
• simetrična ako (∀a, b ∈ A)(aρb ⇒ bρa),
• antisimetrična ako (∀a, b ∈ A)(aρb ∧ bρa ⇒ a = b),
• tranzitivna ako (∀a, b, c ∈ A)(aρb ∧ bρc ⇒ aρc).
Binarna relacija koja je refleksivna, simetrična i tranzitivna naziva se relacija
ekvivalencije. Binarna relacija koja je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna
naziva se relacija poretka. Ako je ρ ⊂ A 2 relacija ekvivalencije, onda se za
svaki element a ∈ A uočava skup svih elemenata skupa A koji su u relaciji sa
elementom a. Taj skup se naziva klasa elementa a i označava se sa [a]ρ. Dakle,
[a]ρ = {x ∈ Axρa}
Teorema 3 Neka je ρ ∈ A 2 relacija ekvivalencije. Tada:
(∀a, b ∈ A)([a]ρ = [b]ρ ∨ [a]ρ ∩ [b]ρ = ∅)
Pri tome je tačan samo jedan od dva iskaza u prethodnoj disjunkciji.
Dokaz ovog tvrdenja moˇze se naći u [1]. Slobodno govoreći, svaka relacija ekvivalencije,
definisana na skupu A, “razbija” skup A na tzv. klase ekvivalencije.
Pomenuto “razbijanje” je takvo da svake dvije particije razbijanja nemaju zajedničkih
elemenata, a unija svih particija je upravo skup A.