Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

36 GLAVA 3. KOMBINATORIKA
3.8 Kombinacije (sa i bez ponavljanja)
Definicija 31 Neka je A = {a1, a2, . . . , an} i neka je k ∈ N, k ≤ n. Svaki
podskup skupa A od k elemeneta naziva se kombinacija bez ponavljanja k-te
klase skupa A.
Teorema 10 Neka je A = {a1, a2, . . . , an} i neka je k ∈ N, k ≤ n. Broj kombi-
n
nacija bez ponavljanja k-te klase skupa A iznosi .
k
Dokaz: Neka je S1 skup svih varijacija bez ponavljanja k-te klase skupa A i neka
je S2 skup svih kombinacija bez ponavljanja k-te klase skupa A. Skup S1 ima
n·(n−1)·. . .·(n−k+1) elemenata. Dalje, neka je funkcija f : S1 ↦→ S2 definisana
na sljedeći način. Svakoj varijaciji k-te klase bez ponavljanja (ai1, ai2, . . . , ain) ∈
S1 pridruˇzuje se kombinacija k-te klase bez ponavljanja {ai1, ai2, . . . , ain} ∈ S2.
Očigledno je da je svaki element skupa S2 slika tačno k! originala iz skupa S2.
Prema tome,
|S2| 3 = |S1|
k!
= n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
k!
=
n
.
k
Definicija 32 Neka je A = {a1, a2, . . . , an} i neka je k ∈ N. Dalje, neka se
iz skupa A bira k elemenata (jedan po jedan element sa vraćanjem). Ako nije
bitan redosljed izvlačenja, nego samo koji je element i koliko puta izvučen, onda
se rezultat izvlačenja naziva kombinacija sa ponavljanjem k-te klase skupa A.
Koristeći prethodnu teoremu, dokazuje se daje broj kombinacija sa ponavljan-
n + k − 1
jem k-te klase skupa od n elemenata jednak
.
k
3.9 Zadaci
Zadatak 89 Napisati sve kombinacije bez ponavljanja četvrte klase od elemenata
a, b, c, d, e, f, g koje sadrˇze elemente b, c, e.
Zadatak 90 Koliko ima kombinacija bez ponavljanja pete klase od elemenata
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 koje:
1. sadrˇze elemente 2, 4, 6?
2. ne sadrˇze sva tri elementa 2, 4, 6?
Zadatak 91 Iz grupe od 15 radnika treba izabrati poslovodu i 4 radnika. Na
koliko je načina moguće napraviti izbor?
3 Oznaka |A| označava broj elemenata skupa A.