Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

2.9. ZADACI 21
Primjer 12 Neka je A = {a, b, c} ineka su funkcije f, g : A ↦→ Adefinisane sa:
a b c
a b c
a b c
f :
i g :
. Očigledno je da je f ◦ g :
,
b c a
c b a
a c b
a b c
dok je g ◦ f :
.
b a c
Definicija 24 Neka su zadani neprazni skupovi A i B i neka f : A ↦→ B.
Ukoliko postoji funkcija f −1 : B ↦→ A takva da je
(∀a ∈ A)f −1 ◦ f = I,
gdje je I identičko preslikavanje skupa A, onda se funkcija f −1 naziva inverzna
funkcija funkcije f.
Iz prethodne definicije neposredno slijedi da je (f −1 ) −1 = f, tj. da je inverzna
funkcija inverzne funkcije upravo polazna funkcija. Dalje, ako je A = B, onda je
f −1 ◦ f = f ◦ f −1 . Slobodno govoreći, funkcija f elemente skupa A “prebacuje”
u skup B, a inverzna funkcija f −1 ih “vraća” na polaznu poziciju.
Teorema 4 Neka su zadani neprazni skupovi A i B. Za funkciju f : A ↦→ B
postoji inverzna funkcija f −1 ako i samo ako je funkcija f bijekcija.
Formalan dokaz ovog tvrdenja izostavljamo (moˇze se naći npr. u [1]), ali
ipak ukazujemo na to da činjenica da je funkcija f bijekcija znači da svakom
elementu skupa A odgovara tačno jedan element skupa B, ˇsto inverznoj funkciji
omogućava da slike “vrati” na pozicije originala.
2.9 Zadaci
Zadatak 42 Neka je zadan skup A = {a, b, c, d} i neka je funkcija f : A ↦→ A
definisana sa f :
a b c d
d a b c
.
1. Izračunati: f(a), f(f(b)), f(f(f(c))), f(f(f(f(d))))
2. Rijeˇsiti po x ∈ A jednačine: f(x) = a, f(f(x)) = b, f(f(f(x))) = d.
Zadatak 43 Neka je A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4, 5} i neka je funkcija f :
A ↦→ B definisana sa f :
sljedećih iskaza:
1. (∃x ∈ A)(f(x) = 4),
2. (∃x ∈ A)(f(x) = 1),
3. (∀x ∈ A)(f(x) ≤ 5),
a b c d
5 3 1 2
4. (∃x1, x2 ∈ A)(f(x1) = f(x2)) i
. Odrediti istinitosnu vrijednost