Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

34 GLAVA 3. KOMBINATORIKA
Rjeˇsenje: Traˇzene varijacije su:
aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb i cc.
Teorma koja slijedi neposredna je posljedica prethodne leme i definicije, pa
je njen dokaz izostavljen.
Teorema 8 Neka je A = {a1, a2, . . . , an}. Broj varijacija sa ponavljanjem duˇzine
k, k ∈ N skupa A jednak je n k .
Definicija 30 Neka je A = {a1, a2, . . . , an} i neka je k ∈ N, k ≤ n. Svaka
uredena k-torka elemenata skupa A u kojoj se nijedan element ne ponavlja naziva
se varijacija bez ponavljanja duˇzine k skupa A.
U slučaju kada je k = n, varijacije bez ponavljanja duˇzine n svode se na
permutacije bez ponavljanja.
Primjer 18 Napisati sve varijacije bez ponavljanja duˇzine 2 skupa {a, b, c, d}.
Rjeˇsenje: Traˇzene varijacije su:
ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db i dc.
Teorema 9 Neka je A = {a1, a2, . . . , an} i neka je k ∈ N, k ≤ n. Broj varijacija
bez ponavljanja duˇzine k skupa A jednak je n(n − 1) . . . (n − k + 1) .
k faktora
Dokaz: Treba prebrojati koliko ima uredenih k-torki elemenata skupa A
takvih da se u njima ni jedan element ne ponavlja.
Na prvom mjestu uredene k-torke moˇze stajati bilo koji element skupa A,
ˇsto znači da postoji n mogućnosti za prvu poziciju. Kada je na prvoj poziciji
postavljen neki element skupa A, na drugu se moˇze postaviti bilo koji od
preostalih n − 1 elemenata, ˇsto ukupno daje n(n − 1) mogućnosti. Slično, za
treću poziciju postoji n(n − 1)(n − 2) mogućnosti. Ponavljajući ovaj postupak,
induktivno se zaključuje da za k-tu poziciju ima n·(n−1)·. . .·(n−k+1) mogugnosti
(pod pretpostavkom da su na prvih k −1 pozicija postavljeni odgovarajući
elementi skupa A).
3.7 Zadaci
Zadatak 76 U hotelu je moguće naručiti kafu, čaj ili mlijeko. Na koliko načina
je moguće napraviti izbor ako se u hotelu ostaje sedam dana?
Zadatak 77 Koliko ima različitih četverocifrenih brojeva djeljivih sa 4 napisanih
pomoću cifara 1, 2, 3, 4 i 5 ako: