Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

Glava 3
Kombinatorika
3.1 Matematička indukcija
Matematička indukcija 1 je posebna tehnika dokazivanja kojom se dokazuje
da odredeno tvrdenje vaˇzi za sve prirodne brojeve (počevˇsi od nekog prirodnog
broja). Dokaz matematičkom indukcijom se realizuje u tri koraka.
U prvom se koraku dokaˇze da je tvrdenje tačno za prirodan broj jedan.
Eventualno, dokaˇze se da je tvrdenje tačno za neki prirodan broj n0 takav
da je tvrdenje tačno za sve ostale prirodne brojeve n ≥ n0. Drugi korak je tzv.
indukcijska hipoteza 2 . Indukcijska hipoteza je pretpostavka da je tvrdenje tačno
za sve prirodne brojeve koji nisu veći od nekog prirodnog broja n. U posljednjem
se koraku dokazuje (uz obavezno koriˇstenje indukcijske hipoteze) da je tvrdenje
tačno i za prirodan broj n + 1. Simbolički se dokaz matematičkom indukcijom
moˇze opisati na sljedeći način:
1. T (1)(T (n0)), za neko n0 ∈ N,
2. pretpostavlja se da je (∀k ∈ N)(k ≤ n ⇒ T (k)) i
3. T (n + 1).
Dakle, matematičkom indukcijom se dokazuje niz implikacija
T (1) ⇒ T (2) ⇒ . . . T (n) ⇒ T (n + 1) ⇒ . . .
Neformalno govoreći, matematička indukcija se moˇze shvatiti kao ruˇsenje
niza beskonačno mnogo domina. Naime, u prvom se koraku sruˇsi prva domina,
a dva posljednja koraka znače da svaka domina koja padne obara sljedeću. Na
taj će način biti sruˇsene sve domine.
1 indukcija-zaključivanje iz pojedinačnog ka opˇstem.
2 hipoteza-pretpostavka čija je tačnost provjerena na velikom uzorku, nije dokazana u
opˇstem slučaju, ali nije ni opovrgnuta.
25