Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

4.2. ZADACI 41
2. M =
⎛
⎜
⎝
1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
⎞
⎟
⎠
Zadatak 106 Nacrtati graf ako je zadana njegova matrica susjednosti
⎛
0
⎜ 0
1. A = ⎜ 1
⎝ 1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
⎞
⎟
⎠
0 1 1 1 0
2. Kvadratna matrica reda 5 kod koje je ai,j =
1, i = j,
0, i = j.
Zadatak 107 Pet fudbalskih ekipa igraju turnir tako da svaka ekipa odigra utakmicu
sa tačno dvije ekipe. Konstruisati grafički model ove situacije.
Zadatak 108 Odrediti stepen svih čvorova grafa na slici.
Zadatak 109 Postoji li
1. graf sa stepenima čvorova 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6?
2. bipartitni graf sa stepenima čvorova 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6?
3. graf sa stepenima čvorova 1, 1, 3, 3, 3, 3, 6, 8, 9, 5?
Zadatak 110 Koliko najviˇse grana moˇze imati graf sa n čvorova?
Zadatak 111 Dokazati ili opovrgnuti:
1. Brissanje čvora najvećeg stepena ne moˇze da poveća prosječnu vrijednost
stepena čvorova.
2. Brissanje čvora najmanjeg stepena ne moˇze da smanji prosječnu vrijednost
stepena čvorova.
Zadatak 112 Dokazati da u svakom grafu postoje dva čvora sa istim stepenom.
Zadatak 113 Na ˇsahovskom turniru svaki igrač je odigrao sa svakim drugim
igračem najviˇse jednu partiju. Dokazati da u svakom trenutku na turniru postoje
barem dva igrača koji su do tog trenutka odigrali isti broj partija.
Zadatak 114 Ako bipartitan graf ima n čvorova i e grana, onda je e ≤ n2
4 .