Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

42 GLAVA 4. TEORIJA GRAFOVA
4.3 Ojlerovi grafovi
ˇSetnja W duˇzine k u grafu G = (V, E) je niz v0, e1, v1, e2, v2, . . . , ek, vk
čvorova i grana tako da je ei = vi−1vi, 1 ≤ i ≤ k. Čvorovi v0 i vk su krajevi
ˇsetnje W. ˇ Setnja je zatvorena ako je v0 = vk. Staza je ˇsetnja u kojoj se ni
jedna grana ne ponavlja. Put je ˇsetnja u kojoj se ni jedan čvor ne ponavlja.
Kontura je zatvorena staza u kojoj se ni jedan čvor (izuzev prvog i posljednjeg)
ne ponavlja.
Čvorovi u i v grafa G su povezani ako u G postoji put čiji su
krajnji čvorovi u i v. Graf G je povezan ako su svaka dva njegova čvora povezana.
Zatvorena staza koja prolazi kroz sve grane grafa G naziva se Ojlerova
kontura. Staza koja nije zatvorena i koja prolazi kroz sve grane grafa G naziva
se Ojlerov put. GrafG je Ojlerov ako sadrˇzi Ojlerovu konturu.
Lema 5 Graf G je Ojlerov ako i samo ako je povezan i svaki čvor ima paran
stepen.
4.4 Zadaci
4.5 Problem najkraćeg puta i Dijkstra algoritam
Neka je svakoj ivici e, grafa G pridruˇzen realan broj w(e), tzv. teˇzina ivice
e. Tada se graf G naziva teˇzinski graf. Ako je H ⊆ G podrgaf teˇzinskog grafa
G, onda se teˇzina podrgrafa H definiˇse sa
w(e). Problem najkraćeg puta
e∈E(H)
je jedan od osnovnih optimizacionih problema. Izmedu dva čvora u grafu treba
odrediti stazu najmanje teˇzine. Za rjeˇsavanje ovog problema koristi se tzv. Dijkstra
algoritam. ˇ Staviˇse, Dijkstrin algoritam odreduje stazu najmanje teˇzine
izmedu jednog fiksiranog čvora i svih preostalih čvorova u grafu. Prilikom realizacije
algoritma svaki čvor se opisuje pripadnim indeksom koji predstavlja
duˇzinu staze izmedu početnog i tekućeg čvora. Ovaj indeks moˇze biti stalan
ili privremen. Kada je indeks postavljen kao stalan, prilikom dalje realizacije
algoritma ostaje nepromjenjen. Vrijednost indeksa ∞ označava da izmedu dva
čvora ne postoji grana koja ih povezuje. Koraci Dijkstra algoritma su
Korak 1 Odabrati početni čvor, postaviti njegov indeks na 0 i označiti ga kao
stalan. Indeks ostalih čvorova postaviti na ∞.
Korak 2 Svim čvorovima koji nemaju stalan indeks postaviti novi privremeni
indeks na sljedeći način:
min{stari indeks k, stari indeksj + l(jk)},
pri čemu je j čor koji je posljednji dobio stalni indeks, k čvor kojem se
odreduje privremeni indeks i l(jk) teˇzina grane jk.