Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

3.2. BINOMNA FORMULA 29
Treba dokazati da binomna formula vaˇzi i za prirodan broj n + 1. Dakle,
(a + b) n+1 = (a + b)(a + b) n =
n
n
= a a n−k b k + b
=
=
=
=
=
k=0
n
k=0
n
k
n
n
k
k
a n−k+1 b k +
a n−k+1 b k +
k=0
n
a n+1 b 0 +
0
n
+
n
n + 1
0
n+1
n + 1
k
k=0
a 0 b n+1 =
n
n
k
k=0
n
n
k
k=0
n+1
n
k − 1
k=1
n
n
n
+
k k − 1
k=1
a n+1 b 0 +
k=1
a n+1−k b k ,
n
n + 1
k
a n−k b k =
a n−k b k+1 =
a n−k+1 b k =
a n−k+1 b k +
a n+1−k b k +
n + 1
a
n + 1
0 b n+1 =
ˇsto znači da je tvrdenje tačno i za prirodan broj n + 1. Dakle, binomna formula
je tačna za svaki prirodan broj n.
Na osnovu osobine 2. zaključuje se da su koeficijenti u binomnoj formuli
simetrični (prvi i posljednji su medusobno jednaki, drugi i pretposljednji,...).
Dalje, koeficijenti binomne formule odreduju se upravo iz Paskalovog trougla.
Naime, “gornje tjeme” Paskolovog trougla (broj 1) odgovora eksponentu 0 u
binomnoj formuli, jer je (a + b) 0 = 1, sljedeći red odgovara eksponentu 1, jer je
(a + b) 1 = 1 · a + 1 · b. Eksponentu 2 odgovara red 1 2 1 Paskalovog trougla, jer
je (a + b) 2 = 1 · a 2 + 2 · ab + 1 · b 2 . Sljedeći red odgovara eksponentu 3, itd.
Primjer 13 Koristeći binomnu formulu izračunati:
1. (a − b) 4 i
2. (2x + 1) 5 .
Rjeˇsenje:
1. Eksponentu 4 u Paskalovom trouglu odgovara red 1 4 6 4 1, pa je
(a − b) 4 = 1 · a 4−0 (−b) 0 + 4 · a 4−1 (−b) 1 + 6 · a 4−2 (−b) 2 +
+4 · a 4−3 (−b) 3 + 1 · a 4−4 (−b) 4 =
= a 4 − 4a 3 b + 6a 2 b 2 − 4ab 3 + b 4 .