Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

28 GLAVA 3. KOMBINATORIKA
Dokaz:
1.
n
k
= n(n − 1) . . . (n − k + 1)(n − k)(n − k − 1) . . . · 2 · 1
= n(n − 1) . . . (n − k + 1)
2.
n
=
k
3.
k(k − 1) . . . · 2 · 1 · (n − k)(n − k − 1) . . . · 2 · 1 =
,
k!
n!
k!(n − k)! =
n n
+
k k + 1
=
=
n!
(n − k)!(n − (n − k))! =
n
i
n − k
n!
k!(n − k)! +
n!
(k + 1)!(n − k − 1)! =
(n + 1)!
(k + 1)!(n − k)! =
n + 1
.
k + 1
Na osnovu osobine 3. zaključuje se da se binomni koeficijenti mogu odrediti
iz tzv. Paskalovog trougla:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
.
.
.
.
Teorema 5 Neka su a, b ∈ R i neka je n ∈ N. Vaˇzi tzv. binomna formula:
(a + b) n =
.
.
n
k=0
n
k
.
.
a n−k b k .
Dokaz: Binomna formula se dokazuje matematičkom indukcijom po eksponentu
n.
Ako je n = 1, onda je
1
k=0
1
a
k
1−k b k =
1
a
0
1 b 0 +
.
.
1
a
1
0 b 1 = a + b,
ˇsto znači da je binomna formula tačna za prirodan broj 1.
Neka je binomna formula tačna za sve prirodne brojeve l koji nisu veći od
nekog prirodnog broja n, tj. neka je
(∀l ≤ n)(a + b) l =
l
k=0
l
a
k
l−k b k .