Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

2.7. POJAM FUNKCIJE 19
2.7 Pojam funkcije
Definicija 21 Neka su zadani neprazni skupovi A i B. Binarna relacija f ⊆
A × B je funkcija koja skup A preslikava u skup B ako za svaki element a ∈ A
postoji najviˇse jedan element skupa b ∈ B takav da je afb.
Ukoliko funkcija f preslikava skup A u skup B, koristi se oznaka f : A ↦→ B.
Dalje, umjesto oznake afb koristi se oznaka f(a) = b. Skup A naziva se domen,
a skup B kodomen funkcije f. Elementi skupa A nazivaju se originali, a elementi
skupa B slike. Skup svih elemenata skupa A kojima odogovara (tačno jedan)
elemet skupa B naziva se prirodni domen funkcije f, a skup svih elemenata
skupa B koji imaju odgovarajući original u skupu A naziva se skup vrijednosti
funkcije f (faktički, to je skup f(A) = {b ∈ B(∃a
∈ A)f(a) = b}). Naravno,
izbacivanjem onih elemenata skupa A koji nemaju odgovarajuću sliku u skupu
B dobija se prirodni domen funkcije f.
Dakle, svaka funkcija je odredena sa tri objekata. To su dva skupa i pravilo
kojim se elementima jednog skupa pridruˇzuju elementi drugog skupa. Dvije
funkcije su jednake ako su im jednaki i domen, i kodomen, i pravilo pridruˇzivanja.
2.7.1 Primjeri
Primjer 5 Neka je A = {1, 2, 3, 4} i neka je B = {a, b, c}. Binarna relacija
ρ = {(1, a), (2, a), (2, b), (3, a), (4, a), (4, c)} nije funkcija iz skupa A u skup B
jer originalima 2 i 4 odgovaraju po dvije različite slike iz skupa B.
Primjer 6 Neka su skupovi A i B definisan kao i u prethodnom primjeru. Slijede
primjeri binarnih relacija koje jesu funkcije f : A ↦→ B
1 2 3 4
• f :
,
a b a c
• f :
• f :
1 2 3 4
a b a b
1 2 3 4
c c c c
i
.
Primjer 7 Neka je A skup svih stanovnika Kantona Sarajevo i neka je B skup
svih ulica u Kantonu Sarajevo. Dalje, neke se svakom stanovniku Kantona
Sarajevo (elementu skupa A) pridruˇzuje ulica (elementu skupa B) u kojoj taj
stanovnik ˇzivi. Na ovaj način (pod pretpostavkom da svaki stanovnik ˇzivi u
tačno jednoj ulici) definisana je funkcija f : A ↦→ B.
Primjer 8 Neka je A skup svih knjiga u nekoj biblioteci i neka je B = N (skup
prirodnoh brojeva). Funkcije f : A ↦→ B svakoj knjizi (elementu skupa A)
pridruˇzuje broj njenih strana (element skupa B).