Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

20 GLAVA 2. SKUP, BINARNA RELACIJA, FUNKCIJA
Primjer 9 Neka je uočena ravan π, neka je p ∈ π fiksirana prava i neka je
A = B = π. Primjer jedne funkcije iz skupa A u skup B je osna simetrija u
odnosu na pravu p.
Primjer 10 Neka je A = B = R i neka je funkcija f : A ↦→ B definisana sa
f(x) = 2x − 1.
Primjer 11 Neka je zadan neprazan skup A. Vaˇzan primjer funkcije koja skup
A preslikava u sebe je tzv. identičko preslkikavanje skupa A (identitet). Ova
funkcija se najčeˇsće označava sa I i definiˇse se na sljedeći način:
(∀a ∈ A)(I(a) = a).
Definicija 22 Neka su zadani neprazni skupovi A i B. Funkcija f : A ↦→ B je:
• sirjekcija (na) ako
• injekcija (1-1) ako
(∀b ∈ B)(∃a ∈ A)(f(a) = b)
(∀a1, a2 ∈ A)(a1 = a2 ⇒ f(a1) = f(a2))
• bijekcija ako je sirjekcija i injekcija.
Očigledno je da je uslov injektivnosti moguće zamijeniti uslovom
(∀a1, a2 ∈ A)(f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2).
Slobodno govoreći, funkcija je sirjekcija ako svaka slika (element skupa B)
ima odgovarajući original (element skupa A). Sa druge strane, funkcija je injekcija
ako različitim originalima odgovaraju različite slike (isim slikama odgovaraju
isti originali).
2.8 Sloˇzena funkcija i inverzna funkcija
Definicija 23 Neka su zadani neprazni skupovi A, B i C i neka f : A ↦→ B i
g : B ↦→ C. Kompozicija funkcija f i g, u oznaci g ◦ f, je funkcija koja skup A
preslikava u skup C na sljedeći način:
(∀a ∈ A)((g ◦ f)(a) = g(f(a))).
Treba primjetiti da gornja definicija podrazumijeva da je skup B prirodni domen
funkcije g. U protivnom bi mogao postojati element a ∈ A takav da ne postoji
g(f(a)). Dalje, očigledno je da funkcija f ◦ g uopˇste ne postoji. Medutim, ako
je A = B = C i ako f, g : A ↦→ A, onda postoje i funkcija g ◦ f i funkcija f ◦ g,
ali u opˇstem slučaju ne vaˇzi jednakost g ◦ f = f ◦ g, ˇsto ilustruje sljedeći