Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

3.2. BINOMNA FORMULA 27
3.2 Binomna formula
Na početku treba usvojiti jednu konvenciju o označavanju sabiranja. Naime,
n
umjesto oznake x1 + x2 + . . . + xn uobičajeno je koristiti oznaku xk (pret-
postavlja se da je ∈ N). Na taj način je npr.
n
k=2
k
(k − 1)(k + 1) =
2
(2 − 1)(2 + 1) +
n
k=1
3
+ . . . +
(3 − 1)(3 + 1)
k=1
1 1 1 1
= + + . . . +
k 1 2 n ili
n
(n − 1)(n + 1) .
Definicija 25 Neka je n ∈ N. Faktorijel broja n, u oznaci n! je pproizvod svih
prirodnih brojeva koji nisu veći od n. Dakle,
Dalje, po definiciji se uzima da je
n! = 1 · 2 · . . . · n.
0! = 1.
Koristeći prethodnu definiciju dobija se da je npr. 3! = 1 · 2 · 3 = 6,
6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720, itd.
Definicija 26 Neka su n, k ∈ N, k ≤ n. Binomni koeficijent, u oznaci n
k (čita
se “en nad ka”) se definiˇse na sljedeći način
n n!
=
k k!(n − k)! .
Dalje, po definiciji se uzima da je
n
= 1.
0
Neposredno se provjerava da je npr. 8 8·7·6·5·4·3·2·1
5 = 1·2·3·4·5·1·2·3·4·5·6·7 = 56.
Lema 2 Binomni koeficijenti imaju sljedeće osobine:
1.
k faktora
n n(n − 1) . . . (n − k + 1)
=
,
k
k!
2.
n n
= i
k n − k
3.
n n n + 1
+ = .
k k + 1 k + 1