Elementi matematicke logike - Građevinski Fakultet Univerziteta u ...

26 GLAVA 3. KOMBINATORIKA
Zadatak 52 Koristeći matematičku indukciju dokazati sljedeća tvrdenja:
1. (∀n ∈ N)1 + 2 + . . . + n =
2. (∀n ∈ N)1 2 + 2 2 + . . . + n 2 =
3. (∀n ∈ N)1 3 + 2 3 + . . . + n 3 =
n(n + 1)
,
2
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
n(n + 1)
4. (∀n ∈ N)1 + 3 + . . . + (2n − 1) = n 2 ,
5. (∀n ∈ N)1 + q + q 2 . . . + q n−1 =
2
2
,
1 − qn
, q = −1,
1 − q
6. (∀n ∈ N) 1 1
1 n
+ + . . . + =
1 · 2 2 · 3 n(n + 1) n + 1 ,
7. (∀n ∈ N) 5 13
+
1 · 2 2 · 3 + . . . + 2n2 + 2n + 1
n(n + 1)
n(2n + 3)
= ,
n + 1
8. (∀n ∈ N) 12 22
n
+ + . . . +
1 · 3 3 · 5 2 n(n + 1)
=
(2n − 1)(2n + 1) 2(2n + 1) .
Zadatak 53 Koristeći matematičku indukciju dokazati sljedeća tvrdenja:
1. (∀n ∈ N)3 5 n + 2 n+1 ,
2. (∀n ∈ N)133 11 n+2 + 12 2n+1 ,
3. (∀n ∈ N)19 7 · 5 2n + 12 · 6 n .
Zadatak 54 Koristeći matematičku indukciju dokazati sljedeće nejednakosti:
1. (∀n ∈ N, n ≥ 2) 1
√ 1 + 1
√ 2 + . . . + 1
√ n > √ n,
2. (∀n ∈ N)(1 + h) n ≥ 1 + nh, h > −1 (Bernulijeva nejednakost)
1
3. (∀n ∈ N, n ≥ 2)
n + 1
4. (∀n ∈ N, n ≥ 5)2 n > n 2 ,
5. (∀n ∈ N, n ≥ 4)n! > 2 n ,
6. (∀n ∈ N, n ≥ 3)n! ≤ n n−1 .
1
1 13
+ + . . . + >
n + 2 2n 24 ,