Astronomie II (online-kurs)

Anhang A
A.1 Grundzüge der Tensorrechnung
A.1.1 Einführung beliebiger Grundsysteme
A.1.1.1
Das ko- und kontravariante Grundsystem
Def. : Es sei g µ ein kovariantes Grundsystem. g ν , ν = 1,2,3 heisst kontravariantes Grundsystem, falls
gilt.
g µ · g ν = δ ν µ ∀µ,ν = 1,2,3 (A.1)
Dabei wird das Paar (g µ ,g ν ) als biorthogonales Grundsystem bezeichnet. Es gilt der
Satz: Ist g µ ein kovariantes Grundsystem, dann ist das kontravariante Grundsystem g ν nach Gl. A.1
eindeutig festgelegt und umgekehrt.
Es zeigt sich, dass sich das kontravariante Grundsystem über das Vektorprodukt des kovarianten
Grundsystems berechnen lässt. Eine andere Verknüpfungsvorschrift zwischen den Grundsystemen, die
frei vom Vektorprodukt und damit auf beliebige Räume übertragbar ist, wird durch folgende Definition
eingeführt.
Def. : Die kovarianten Metrikkoeffizienten g µν zerlegen das kovariante GS in Richtung der kontravarianten
Basisvektoren, und die kontravarianten Metrikkoeffizienten g µν zerlegen das kontravariante
GS in Richtung der kovarianten Basisvektoren, d.h.
g µ = g µν g ν und g µ = g µν g ν . (A.2)
Offensichtlich sind die Metrikkoeffizienten also Transformationskoeffizienten zwischen den kovarianten
und kontravarianten GS. Dabei ist die Matrix der Metrikkoeffizienten wegen der Kommutativität des
Skalarprodukts symmetrisch.Es besteht der Zusammenhang
g µν g νλ = δ µ λ .
(A.3)
A.1.1.2
Vektoren in den Grundsystemen
Einen Vektor ⃗ A kann man in Richtung eines ko- oder kontravarianten GS zerlegen.
⃗A = A µ g µ = A 1 g 1 + A 2 g 2 + A 3 g 3 ,
⃗A = A µ g µ = A 1 g 1 + A 2 g 2 + A 3 g 3 .
(A.4)
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