Astronomie II (online-kurs)

ANHANG A. 54
• Der Gradient ist invariant gegenüber Koordinatentransformationen und damit ein Tensor 1.
Stufe.
• Erst die Anwendung auf ein Skalar oder Tensor legt ihn endgültig fest. Der Gradient selbst ist
weder in seiner Richtung noch in seinem Betrag bestimmt.
Man schreibt auch: grad(·) = g µ ∂(·)
∂x µ
dem Tensorfeld unterscheidet man
= g µ (·) , µ . Je nach Verknüpfungsart des Nabla-Operators mit
▽ · (T) = div(T)
▽ × (T) = rot(T)
▽(T) = grad(T) .
(A.11)
(A.12)
(A.13)
Dabei führt die Divergenz eines Tensors n-ter Stufe auf einen Tensor n − 1-Stufe.
A.1.2.3
Die Christoffel-Symbole
Def. : Die Christoffel-Symbole Γ λ µν zerlegen die Ableitung ∂g µ/∂x ν der kovarianten Basisvektoren g µ
nach der Koordinate x ν in Richtung der kovarianten Basisvektoren, d.h.
∂g µ
∂x ν = g µ, ν = Γ λ µν g λ .
(A.14)
Eine wichtige Eigenschaft der Christoffel-Symbole ist deren Symmetrie bzgl. der beiden unteren Indizes.
Zusammenfassend können wir für die Christoffel-Symbole schreiben:
Γ λ µν = Γ λ νµ = 1 2 gλσ (g νσ, µ + g σµ, ν − g µν, σ ) ,
(A.15)
wobei z.B. g σµ, ν die kovariante Ableitung des kovarianten Metrikkoeffizienten ist. Betrachten wir nun
die bekannte FRW-Metrik, die durch
ds 2 = −g µν dx µ dx ν , (A.16)
( dr
= dt 2 − R 2 2
)
(t)
1 − kr 2 + r2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2
gegeben ist. Man kann nun leicht die Metrikkoeffizienten g µν berechnen. Es ist
und
wobei, nutzt man die Metrik in Polarkoordinaten,
g 00 = −1 (A.17)
g i0 = 0 ,
g ij = R 2 (t) gˆ
ij ,
(A.18)
1
gˆ
rr =
1 − kr 2 , (A.19)
gˆ
θθ = r 2 ,
gˆ
φφ = r 2 sin 2 θ ,
gˆ
ij = 0 , i ≠ j .