Astronomie II (online-kurs)

ANHANG A. 53
Dabei stellen die A µ die kovarianten Komponenten bzgl. des kontravarianten GS dar. Man erhält die
kontravariante Komponente, indem man den Vektor A ⃗ skalar mit dem kontravarianten Basisvektor g ν
multipliziert.
A ν = A ⃗ · g ν .
(A.5)
Entsprechend für das kovariante GS
A.1.2 Tensoren
A ν = ⃗ A · g ν .
(A.6)
Ein Tensor 0. Stufe ist ein Skalar, ein Tensor 1. Stufe ist ein Vektor mit den bekannten ko- und
kontravarianten Komponenten.
Def. : Ein Tensor T (2) ≡ T zweiter Stufe wird durch das dyadische oder tensorielle Produkt der beiden
Vektoren (Tensoren 1. Stufe)
nämlich T = T (2) = ⃗ A ⊗ ⃗ B = ⃗ A ⃗ B bzw. abkürzend
⃗A = A µ g µ und ⃗ B = B ν g ν , (A.7)
T = T µν g µ g ν
(A.8)
und die Invarianzforderung T = ¯T bei Wechsel des Bezugssystems gebildet.
Dabei ist das dyadische Produkt der beiden Vektoren ⃗ A und ⃗ B für ⃗ A ≠ ⃗ B nicht kommutativ. Ein
Tensor 2. Stufe besitzt 9 unabhängige Komponenten T µν .
A.1.2.1
Tensoren 2. Stufe
Für jeden Tensor 2. Stufe existieren vier Darstellungsmöglichkeiten:
A.1.2.2
T = T µν g µ g ν im kovarianten Basissystem (A.9)
T = T µν g µ g ν im kontravarianten Basissystem
T = Tµ ν g µ g ν ,
T = T µ νg µ g ν im gemischten Basissystem.
Gradient, Divergenz und Rotation von Tensorfeldern
Def. : Sind x ν die Koordinaten eines ortsveränderlichen Koordinatensystems, g ν der zu x ν -Koordinatenlinie
gehörige kontravariante Basisvektor und T ∈ W ein differenzierbares Vektorfeld beliebiger Stufe,
dann ist
g ν ∂(T)
∂x ν = g1∂(T) ∂x 1 + g2∂(T) ∂x 2 + g3∂(T) ≡ grad(T) ≡ ▽(T)
∂x3 (A.10)
der Gradient von T, bzw. die tensorielle Anwendung des Nabla-Operators auf das Tensorfeld
T.
Der Gradient besitzt folgende Eigenschaften:
• Der Gradient ist ein linearer, partieller Ableitungsoperator mit Vektorcharakter.
• Der Gradient wird von einem kontravarianten Basisvektor gebildet.