Astronomie II (online-kurs)

ANHANG A. 55
Wir können nun auch die entsprechenden Komponenten der Christoffel-Symbole bestimmen.
Γ 0 ij
= RṘgˆ
ij ,
Γ i 0j = Ṙ
R δi j ,
Γ 1 kr
11 =
1 − kr 2 ,
Γ 1 22 = −(1 − kr 2 )r ,
Γ 1 33 = −(1 − kr 2 )r sin 2 θ ,
Γ 2 12 = Γ 2 21 = Γ3 13 = Γ3 31 = 1/r ,
Γ 2 33 = − sin θ cos θ ,
Γ 3 23 = Γ 3 32 = cot θ .
(A.20)
Beschränken wir uns auf den Fall eines flachen Raumes k = 0, dann können wir die Metrik wie folgt
umschreiben
ds 2 = dt 2 − R 2 (t)(dx 2 1 + dx 2 2 + dx 2 3) .
(A.21)
Damit vereinfachen sich die Metrikkoeffizienten zu
g 00 = −1 , (A.22)
g i0 = 0 ,
g ij = R 2 (t)δ ij , (A.23)
und die Christoffel-Symbole zu
Γ 0 ij = RṘδ ij , (A.24)
Γ i 0j = Ṙδi j /R ,
Γ i jk = 0 . (A.25)
Def. : Die mit den Christoffel-Symbolen gebildete Komponente
R δ αβγ = Γδ αγ, β − Γδ αβ, γ + Γδ σβ Γσ αγ − Γ δ σγΓ σ αβ
(A.26)
bildet den Riemann-Christoffel-Tensor (RCT) 4. Stufe
R (4) = R δ αβγ g δg γ g β g α .
(A.27)
Es ergibt sich für die rein kovariante Komponente des RCT mit den allgemeinen Symmetriebedingungen
R αβνδ = −R αβδν = −R βανδ = R νδβα = R βαδν ,
(A.28)
R αβνδ = 1 2 (g αβ,νδ − g βν,αδ − g αδ,βν + g βδ,αν ) + g ησ (Γ η ναΓ σ βδ − Γη δα Γσ βν ) .
(A.29)