4 Abbildung durch zentrische Streckung
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78 Ähnliche Dreiecke<br />
1 a) Sind die beiden Dreiecke ABC und<br />
PQR ähnlich? Was vermutest du?<br />
b) Wie könnte man das Dreieck ABC auf<br />
das Dreieck PQR abbilden?<br />
c) Warum genügt es nur zwei Winkelmaße<br />
zu vergleichen, um zu erkennen,<br />
ob die Dreiecke ähnlich sind?<br />
R<br />
Q<br />
100°<br />
30°<br />
P=A<br />
30° 100°<br />
B<br />
C<br />
2 So kann man zeigen, dass zwei Dreiecke ABC und PQR, die in zwei Winkelmaßen übereinstimmen,<br />
ähnlich sind:<br />
Voraussetzung: b = b; g = g<br />
Daraus folgt: a = a<br />
Durch Kongruenzabbildungen kann man<br />
die Dreiecke so anordnen, dass sie übereinander<br />
liegen.<br />
Mit b = b und g = g (Stufenwinkel)<br />
folgt: [BC] || [QR]<br />
Mit A = P als Zentrum einer <strong>zentrische</strong>n<br />
<strong>Streckung</strong> kann man das Dreieck ABC<br />
auf das Dreieck PQR abbilden.<br />
Deshalb sind die Dreiecke ähnlich.<br />
PQ PR<br />
Für k gilt: k = = = QR<br />
AB AC BC<br />
α=α’<br />
A=P<br />
C<br />
γ<br />
β<br />
B<br />
β’<br />
Q<br />
γ’<br />
R<br />
Ähnlichkeitssatz<br />
für<br />
Dreiecke<br />
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in den<br />
Maßen von zwei Winkeln übereinstimmen.<br />
b = b Ÿ g = g<br />
A<br />
C<br />
γ<br />
β<br />
B<br />
P<br />
R<br />
γ’<br />
β’<br />
Q<br />
Übung<br />
3 Welche Dreiecke sind ähnlich? Begründe.<br />
a) R<br />
b)<br />
C<br />
110°<br />
P<br />
30°<br />
A<br />
30°<br />
A<br />
40°<br />
Q<br />
B<br />
c) d)<br />
B<br />
R<br />
25°<br />
P<br />
75°<br />
B<br />
H<br />
C<br />
g<br />
R<br />
70°<br />
Q<br />
h<br />
G<br />
·<br />
F<br />
S<br />
A<br />
J<br />
·<br />
E<br />
g || h<br />
P<br />
A<br />
B<br />
·<br />
D<br />
C
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