4 Abbildung durch zentrische Streckung

100 Vermischte Übungen
9
–2 11
9
–8 5
–5
1 Im Dreieck ABC mit dem Schwerpunkt S gilt: A(1|2); B(10|–1); S(5|3)
a) Zeichne das Dreieck ABC.
b) Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C.
c) Berechne die Koordinaten der Mittelpunkte M a , M b und M c der Seiten des Dreiecks.
d) Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks M a M b M c am
Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
2 Das Dreieck ABC wird durch zentrische Streckungen mit den Streckungszentrum Z 1 und
dem Streckungsfaktor k 1 auf das Dreieck A*B*C* abgebildet.
Es gilt: A(1|2); B(3|0,5); C(4|3); k 1 = 2
a) Zeichne das Dreieck ABC und das Dreieck A*B*C*. Berechne die Koordinaten der
Bildpunkte A*, B* und C*.
Z 2 (–2|3); k
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ 2 = –0,75
b) DA*B*C* ∂ƒƒƒƒƒƒƒƒ ƒƒƒƒ© DABC.
Berechne die Koordinaten der Bildpunkte A, B und C.
[Ergebnis: A (–2|6); B(–5|8,25); C(–6,5|4,5)]
c) Das Dreieck ABC lässt sich mit einem Zentrum Z und einem Streckungsfaktor k direkt
auf das Dreieck ABC abbilden. Ermittle durch Zeichnung die Koordinaten von Z.
d) Berechne den Streckungsfaktor k und vergleiche mit den Faktoren k 1 und k 2 . Was stellst
du fest?
e) Berechne die Koordinaten von Z.
f) Ermittle Beziehungen zwischen den Flächeninhalten der drei Dreiecke ABC, A*B*C*
und ABC.
7
–7
13
3 Die Punkte C n von gleichschenkligen Dreiecken AB n C n mit der Basis [AB n ] liegen auf der
Geraden g mit y = 6. Die Dreiecke AB n C n werden durch zentrische Streckung auf Dreiecke
AB n C n abgebildet. Es gilt: A(0|0); B n (x|0); Z(6|–3); k = –
1
3.
a) Zeichne für x = 6 und für x = 9 die Dreiecke AB 1 C 1 und AB 2 C 2 und die zugehörigen
Bilddreiecke. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte.
b) Stelle die Koordinaten der Bildpunkte B n und C n in Abhängigkeit von x dar.
c) Zeichne in den Dreiecken aus Aufgabe a) die Schwerpunkte ein und berechne deren
Koordinaten. Gib die Gleichungen der Geraden an, auf denen die Schwerpunkte S n bzw.
die Schwerpunkte S n liegen.
d) Berechne die Koordinaten des Umkreismittelpunktes M 1 des Dreiecks AB 1 C 1 und des
Dreiecks AB 1 C 1 .
e)
Für x = 12 haben Ur- und
Bilddreieck eine ganz besondere Form!
9
–6 6
–5
4 Gegeben ist das Geradenbüschel g(m) mit y = m(x – 3) + 2.
a) Gib die Koordinaten des Büschelpunktes B an.
b) Überprüfe durch Rechnung, ob die Gerade g 1 mit y = –2x + 8 Element des Büschels
ist. Zeichne den Punkt B und die Gerade g 1 .
c) Der Punkt B und das Geradenbüschel g(m) werden durch zentrische Streckung abgebildet.
Die Gerade g 1 ist Element des Büschels g(m). Zeichne die Gerade g 1 und den
Punkt B. Es gilt: Z(2|1); k = –3.
d) Berechne die Koordinaten von B und die Gleichung von g 1 .
e) Gib die Gleichung des Geradenbüschels g(m) an.
f) Überprüfe, ob die Gerade g 2 mit y = 0,5x – 1,5 Element des Büschels g(m) ist.
g) Zeichne die Gerade g 2 . Gib die Gleichung von g 2 an. Was stellst du fest?