4 Abbildung durch zentrische Streckung

88 Einbeschreibungsaufgaben
1 Dem Dreieck ABC wird ein Rechteck PQRS so einbeschrieben, dass die Seite [PQ] auf
der Strecke [AB], der Punkt R auf [BC] und der Punkt S auf [AC] liegt. Die Seite [PQ]
des Rechtecks ist doppelt so lang wie die Seite [QR]. Es gilt: A(1|1), B(9|1), C(3|6)
So kann man diese Aufgabe durch Zeichnung lösen:
A Notiere alle Bedingungen, die in dieser
y
Aufgabe erfüllt werden müssen.
C
6
I [PQ] [AB]
II PQ : QR = 2 : 1
5
III R [BC]
4 S 3 R 3
IV S [AC]
3
B Probiere systematisch, d.h. zeichne 2
S2
S1
Rechtecke P n Q n R n S n , die die Bedingungen
I, II und III erfüllen.
1
P 3
C Aus der Zeichnung erkennt man:
Die Rechtecke P 2 Q 2 R 2 S 2 , P 3 Q 3 R 3 S 3 ,
… erhält man durch zentrische
O
y
1
Streckung des Rechtecks P 1 Q 1 R 1 S 1
mit dem Zentrum B. Somit liegen
alle Punkte S n auf der Halbgeraden
6
5
C
[BS 1 .
4
S
R
D Der Eckpunkt S ergibt sich als 3
Schnittpunkt von [BS 1 mit [AC].
S
2
1
Durch Zeichnen entsprechender Parallelen
zu den Seiten des Rechtecks
P 1 Q 1 R 1 S 1 erhält man die weiteren
Eckpunkte P, Q und R. Da alle
1
O
A
1
P P 1 Q
Rechtecke ähnlich sind, verhalten sich die Längen PQ und QR wie 2 : 1.
So kann man durch Rechnung die Längen PQ und QR ermitteln:
R 2
R 1
A P 2 Q 3 P 1 Q 2 Q 1
2 3 4 5 6 7 8
R 1
Q 1
2 3 4 5 6 7 8
B
9
B
9
x
x
Übungen
9
–1 7
Bezeichne die Längenmaßzahlen von
PQ mit 2x und die von QR mit x.
Trage alle weiteren Maßzahlen, die du
mithilfe der Koordinaten der Eckpunkte
A, B und C ermitteln kannst, in die
Zeichnung ein.
Die Dreiecke ABC und SRC sind ähnlich.
Somit sind entsprechende Streckenverhältnisse
gleich.
Also gilt: = RS
AB
1
h* A P Q B
h
Für die Maßzahlen gilt:
5 – x
5
= 2x
8
a) Löse die Verhältnisgleichung und zeige, dass gilt: PQ = 4,4 LE und QR = 2,2 LE
b) Löse obige Aufgabe für A(0|8); B(0|0); C(6|3) zeichnerisch. Berechne PQ und QR.
y
6
5
4
3
2
O
1
S
C
h h*
5–x 5
2x
R
2 3 4 5 6 7 8
x
x
9
x