4 Abbildung durch zentrische Streckung

98 Schwerpunkt eines Dreiecks
4 Die Punkte M b und M c sind Mittelpunkte der Seiten [AC] und [AB] des Dreiecks ABC.
a) Zeige wie in Aufgabe 3 Seite 97,
dass gilt:
S*B 2
S*M =
b 1
M b
S
C
b) Begründe, dass aus a) und aus Aufgabe
3d Seite 97 folgt: S = S*
A
M c
B
Seitenhalbierende
Schwerpunkt
Die Verbindungsstrecken der Seitenmittelpunkte
mit den gegenüberliegenden
Dreiecksseiten bezeichnet man
als Seitenhalbierende (Schwerlinien).
Diese schneiden sich in einem Punkt,
dem Schwerpunkt S. Er teilt jede Seitenhalbierende
im Verhältnis 2:1.
A
s b
S
M c
s c
S n
C
s a
M a
B
Übungen
7
–3 9
9
–5 9
–6
11
10
5 Zeichne das Dreieck ABC und konstruiere den Schwerpunkt.
a) a = 6 cm; b = 5 cm; c = 8 cm b) b = 6,4 cm; c = 7 cm; a = 60°
c) A(1|–2); B(7|0); C(5|5) d) A(4|0); B(8|3); C(5,5|6)
6 Der Punkt S ist Schwerpunkt des Dreiecks ABC. Ermittle durch Zeichnung die Koordinaten
der fehlenden Eckpunkte bzw. des fehlenden Schwerpunktes.
a) A(0|–4); B(6|–2); S(3|0) b) A(–4|1); C(0|6); S(–1|2,5)
c) A(–4|–4); M [AB] (–1|–5); S(–1|–3) d) A(2,5|2); M [AC] (4|5); S(5,5|4)
7 Die Punkte A n , B n und C n sind Eckpunkte von gleichseitigen Dreiecken A n B n C n . Die Punkte
A n (x|1) liegen auf der Geraden g mit y = 1. Die Punkte M n (x|3x + 1) auf der Geraden
g mit y = 3x + 1 sind Mittelpunkte der Dreiecksseiten [B n C n ]. Sie haben die gleiche Abszisse
x wie die Punkte A n .
a) Zeichne für x = 1 und x = 2 die
C y n
M n B n
zugehörigen Dreiecke A 1 B 1 C 1 und
5
A 2 B 2 C 2 . Zeichne die zugehörigen
Schwerpunkte S 1 und S 2 ein. Berechne
4
ihre Koordinaten.
b) Für welche Belegungen von x gibt es
3
Dreiecke A n B n C n mit dem Umlaufssinn
entgegen dem Uhrzeiger?
2
c) Zeige, dass für die Koordinaten der
Schwerpunkte gilt: S n (x|2x + 1).
1
A
Verwende zur Berechnung die Pfeilkette
n
ƒƒƒ© ƒƒƒ© ƒƒƒ©
OS n
= OA n AS n .
–2 –1 O 1 2 3 4 x
d) Gib die Gleichung des Graphen s an,
auf dem die Schwerpunkte S n liegen.
Zeichne den Graphen s ein.