Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

5. Die Hamilton-Jacobi-Theorie 96
(überprüfen als AUFGABE). Durch Umstellen folgt hier die wichtige Gleichung
mα 2
E = −
2(J r + J φ ) 2. (5.91)
Die Winkelfrequenzen für die φ- und die r-Bewegung folgen einfach aus (vgl. auch
SCHAUM)
ω φ = ∂E
∂J φ
=
mα 2
(J r + J φ ) 3, ω r = ∂E
∂J r
=
mα 2
(J r + J φ ) 3, (5.92)
beide Frequenzen stimmen also überein, denn E hängt ja nur von der Summe J r + J φ
ab. Einen solchen Fall übereinstimmender Frequenzen bezeichnet man als Entartung.
Entsprechend gilt für die kanonischen Winkelvariablen θ φ und θ r nach Gl. (5.89)
θ φ (t) = θ r (t) = ω φ (t − t 0 ) = ω r (t − t 0 ). (5.93)
Falls man von Anfang an die volle dreidimensionale Bewegung mitnimmt und die
Einschränkung auf eine Ebene zunächst nicht berücksichtigt, so muss man 3d Polarkoordinaten
nehmen und hat dann den zusätzlichen Winkel θ. Die Rechnung ist dann etwas
aufwändiger, vgl. GOLDSTEIN. Der dem Ergebnis Gl. (5.91) entsprechende Ausdruck
involviert dann eine zusätzliche Wirkungsvariable J θ und lautet
mα 2
E = −
2(J r + J φ + J θ ) 2, Energie und Wirkungsvariablen im Kepler-Problem. (5.94)
Vergleich mit oben zeigt, dass Gl. (5.91) dem Spezialfall J θ = 0 entspricht.
AUFGABE:
1. Man leite durch Differentiation der Wirkung S(r,φ;E,L 0 ,t) eine Gleichung für die
Zeit t als Funktion des Radius r her.
2. (für Astronomen) Lies im GOLDSTEIN das Kapitel über die zeitliche Bewegung im
Keplerproblem. Leite die astronomische Gleichung ωt = ψ − esin ψ her.
5.5.3 Sommerfeld-Wilson-Quantisierung, ‘Ältere Quantenmechanik’
Die Atomphysik vor Schrödinger und Heisenberg benutzte ‘Quantisierungs-Regeln’, die
auf den Bohrschen Ideen zum Atom aufbauten. Eine der Grundregeln ist die Quantisierung
der Wirkungsvariablen in der Form
J i = 1
2π
∮
p i dq i = n i , n i ∈ N, ≡ h
2π . (5.95)
mit dem Planckschen Wirkungsquantum h und der Quantenzahl n i . Die durch die
Wirkungsvariablen ausgedrückten Flächen im Phasenraum werden also in ganzzahligen
Einheiten von quantisiert.
In unserem Beispiel des Kepler-Problems hat man also für die Energie E
mα 2
E = −
2(J r + J φ + J θ ) 2 = 1
−mα2 2 2 (n r + n φ + n θ ) 2 (5.96)