Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

5. Die Hamilton-Jacobi-Theorie 91
Im Folgenden betrachten wir weiterhin nur Librationen und keine Rotationen. Winkelund
Wirkungsvariablen werden zunächst ganz analog zum eindimensionalen Fall eingeführt,
J ≡ 1 ∮
2π
∮
J i ≡ 1
2π
p(q,E)dq, (f = 1) (5.64)
p i (q i ,P)dq i ,
p i = ∂W i
∂q i
, (i = 1,...,f). (5.65)
Die J i sind jetzt die neuen Konstanten der Bewegung und ersetzen die bisherigen P i .
Damit werden die verkürzte Wirkung W, die Winkelvariablen θ, und die Hamiltonschen
Bewegungsgleichungen zu
W =
f∑
W k (q k ,P(J)) θ i =
k=1
f∑
k=1
∂W k (q k ,P(J))
∂J i
, K = H = E(J) (5.66)
˙θ i = ∂E(J)
∂J i
, J i = const. (5.67)
Aus deren (trivialer) Lösungen θ i = ω i t+θ i0 kann man schließlich die alten Ortsvariablen
q i = q i (θ 1 ,...,θ f ,J) bestimmen. Für diese Funktionen gilt jetzt folgender
Satz 23. Die alten Ortsvariablen q i = q i (θ 1 ,...,θ f ,J) sind periodisch in den Winkelvariablen,
d.h. es gilt
q i (θ 1 ,...,θ f ,J) = q i (θ 1 + 2πn 1 ,...,θ f + 2πn f ,J), n i ∈ N. (5.68)
Beweis siehe z.B. REBHAN. Die alten Ortsvariablen sind also mehrfach periodische
Funktionen und können deshalb in Fourierreihen (siehe MM) entwickelt werden,
q i (θ,J) =
q i (t) =
∞∑
n 1 ,...,n f =−∞
∞∑
n 1 ,...,n f =−∞
a (i)
n 1 ,...,n f
e i(n 1θ 1 +...+n f θ f )
(5.69)
a (i)
n 1 ,...,n f
e i(n 1θ 10 +...+n f θ f0 ) e i(n 1ω 1 +...+n f ω f )t . (5.70)
Es gilt jetzt
Satz 24. Falls die Winkelfrequenzen ω i kommensurabel sind, d.h. zueinander paarweise
in rationalen Zahlenverhältnissen stehen, so sind die Funktionen q i (t) periodische
Funktionen in der Zeit t. Bei inkommensurablen Winkelfrequenzen ω i sind die q i nicht
periodisch.
5.4 Integrabilität
In diesem (vor)letzten Abschnitt der Hamilton-Jacobi-Theorie kommen wir auf die Frage
zurück, wann ein mechanisches Problem vollständig ‘gelöst’ werden kann, und was ‘lösen’
eigentlich heißt.