Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

1. Newtonsche Mechanik 18
Der Vergleich ergibt das gesuchte Kraftgesetz;
F r = − L2 1
mk r 2, F φ = 0. (1.91)
AUFGABE: Bestimmen Sie umgekehrt aus dem Potential V (r) = −α/r die Form der
Bahnkurve. Bestimmen Sie den Zusammenhang von Gesamtenergie E und Drehimpuls
L mit den Parametern k und ε der Bahn.
1.4.2.2 Drittes Keplersches Gesetz
Die Umlaufzeit T erhalten wir aus
∫ 2π
L = mr 2 ˙φ = const LT = mr 2 dφ (1.92)
Das ist ein Flächenintegral, es folgt wegen k = b 2 /a
0
Kepler III sagt
LT = 2πmab = 2πm √ a 3 k T 2
a 3 = 4π2 m 2 k
L 2 (1.93)
T 2 1
a 3 1
= T 2 2
a 3 2
= const, 3. Keplersches Gesetz , (1.94)
d. h. m 2 k/L 2 in Gl. (1.93) ist unabhängig von der reduzierten Masse m, und wir können
schreiben
F r = −const m r 2 (1.95)
mit einer Konstanten, die nicht mehr von der reduzierten Masse m abhängt.
1.4.3 Runge-Lenz-Vektor
Im Kepler-Problem, d.h. der Bewegung im radialsymmetrischen Potential in d = 3,
gibt es eine weitere Erhaltungsgröße
V (r) = − α r , (1.96)
Λ ≡ p × L
αm − r r . (1.97)
Die Exzentrizität ε = |Λ|, und Λ zeigt vom Brennpunkt zum Perihel (zentrumsnächster
Bahnpunkt).