Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

4. Der Hamiltonsche Formalismus 62
4.3 Der Phasenraum
4.3.1 Definitionen
Wir beginnen mit einer ‘Physiker’-Definition des Phasenraums,
Definition Der Phasenraum Γ eines mechanischen Systems mit f Freiheitsgraden und
Hamiltonfunktion H(q 1 ,...,q f ;p 1 ,...,p f ;t) ist der Raum der 2f kanonischen Variablen
q 1 ,...,q f ;p 1 ,...,p f .
(Was für ein Raum, fragt der Mathematiker). Wir geben uns erst einmal damit zufrieden,
daß der Phasenraum lokal wie der reelle Vektorraum R 2f aussieht.
Weiterhin
Definition Der Zustand zur Zeit t eines mechanischen Systems mit f Freiheitsgraden
und Hamiltonfunktion H(q 1 ,...,q f ;p 1 ,...,p f ;t) ist ein Punkt
im Phasenraum.
X(t) ≡ (q(t),p(t)) (4.36)
Bemerkung: in der Quantenmechanik ist der Zustand eines (abgeschlossenen) quantenmechanischen
Systemes zur Zeit t durch einen Vektor |Ψ(t)〉 (Wellenfunktion) eines Hilbertraums
(mehr- oder sogar unendlich-dimenionaler Vektorraum) bestimmt.
(SKRIPT SCHÖNHAMMER). Für eine zweimal stetig nach den p i und q i differenzierbare
Hamiltonfunktion H sind die Lösungen der Hamiltonschen Gleichungen eindeutig.
Deshalb bestimmt jede Punkt im Phasenraum eine eindeutige Phasenraumtrajektorie,
d.h. eine Kurve t → X(t) im Phasenraum. Die Phasenraumtrajektorien können
sich also nicht schneiden.
Wie bei der Definition des Richtungsfeldes für gewöhnliche DGL (vgl. SKRIPT MM)
definieren wir im Phasenraum
( ) ∂H
∂p
v(X,t) ≡
− ∂H , Phasenraum-Geschwindigkeitsfeld (4.37)
∂q
Ẋ(t) = v(X,t), Hamiltonsche Gleichungen (4.38)
Die v(X,t) sind die Tangentialvektoren an die Kurve X(t). Mit der Hamiltonfunktion
H ist v(X,t) bestimmt, man kann also die Lösung des Anfangswertproblems Ẋ(t) =
v(X,t), X(0) = X 0 im Prinzip ‘zeichnerisch’ ermitteln, indem man alle Tangenten des
Phasenraum-Geschwindigkeitsfeldes durch eine Kurve mit Anfangspunkt X(0) = X 0
verbindet (SKIZZE).
Definition Die Abbildung
φ t : X(0) → X(t), (q(0),p(0)) → (q(t),p(t)) (4.39)
bezeichnet man als Hamiltonschen Fluss oder Phasenraumfluss. Sie beschreibt die
Zeitentwicklung in der klassischen (Hamiltonschen) Mechanik