Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

1. NEWTONSCHE MECHANIK
1.1 Newtonsche Bewegungsgleichungen
Es gibt viele Möglichkeiten, die Mechanik zu beginnen. Die Bewegungsgleichung für N
Teilchen mit Massen m i und Orts-Koordinaten x i ∈ R d (normalerweise d = 3 Dimensionen)
sollen hier an den Anfang gestellt werden,
p˙
i = m i ẍ i = F i (x 1 ,...,x N ;ẋ 1 ,...,ẋ N ,t), i = 1,...,N
Newtonsche Gleichungen, lex secunda (1.1)
In den Impulsen p i ≡ m i x˙
i werden wie hier häufig konstante Massen m i vorausgesetzt.
Die F i sind vorgegebene Kräfte. Aufgabe der theoretischen Mechanik ist letztlich das
Auffinden und die Interpretation von Lösungen der Newtonschen Gleichungen. Dabei
handelt es sich um ein System von d × N gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter
Ordnung für die gesuchten Funktionen x i (t).
Es gibt verschiedene Arten von Kräften: Wechselwirkungskräfte, Zwangskräfte, Scheinkräfte,
virtuelle Kräfte, Reibungskräfte, Trägheitskräfte, Kapillarkräfte, Dispersionskräfte,etc.
Eines der Anliegen der Mechanik ist es, hier Ordnung zu schaffen und in
der weiteren mathematischen Entwicklung (Lagrange, Hamilton) sogar möglichst ganz
auf den Begriff der Kraft zu verzichten. Wechselwirkungskräfte können dann z.B. häufig
durch Potentialfelder ausgedrückt werden, die zwar nicht direkt beobachtbar sind, in mikroskopischen
Theorien (Quantenmechanik, Quantenelektrodynamik) aber eine entscheidende
Rolle spielen. Der Begriff der Kraft ist allerdings so zentral für die physikalische
Intuition, dass man gut daran tut, ihn nicht abzuschaffen.
Die analytische Mechanik kann zwar sehr scharf mathematisch formuliert werden,
letztendlich beruht Gl. (1.1) z.B. aber auf Erfahrung. Wie jede physikalische Theorie ist
die theoretische Mechanik der Versuch, eine bestimmte Klasse von Naturphänomenen
mit den gegenwärtig zur Verfügung stehenden sprachlichen (d.h. mathematischen) Methoden
zu erfassen und dabei ‘das Wesentliche’ zu extrahieren.
1.1.1 Die Arena des Geschehens
(STRAUMANN) Die Zeit wird durch das Kontinuum der reellen Zahlen R beschrieben.
Der Raum wird als euklidischer Raum E 3 beschrieben, dessen Punkte durch einen
festen ’Aufpunkt’ 0 und Koordinaten bezüglich einer Orthogonalbasis e 1 , e 2 , e 3 des
Vektorraums R 3 mit e i e j = δ ij festgelegt werden. Die Wahl des Aufpunkts gibt uns die
Freiheit, den Ursprung des Koordinatensystems beliebig zu wählen. Die Positionen der