Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

2. Lagrange-Mechanik 34
2.4.1 N = 1 Teilchen, Translationsinvarianz in drei Dimensionen
Die Lagrange-Funktion sei
L = T − V = 1 2 mẋ2 − V (x) (2.54)
mit einem Potential V (x). Hier gilt mit einem Einheitsvektor in ˆn-Richtung
q(t) = x(t) → Q(s,t) ≡ x(t) + sˆn. (2.55)
Falls die Wirkung invariant unter dieser Transformation ist, so ist
I[q, ˙q] = ∂L
∂ẋ
∣
d ∣∣∣s=0
ds Q(s,t) = ∂L ˆn = mẋˆn = pˆn, (2.56)
∂ẋ
zeitlich konstant, d.h. die Komponente des Impulses in ˆn-Richtung ist eine Konstante
der Bewegung (die Masse m ist als konstant vorausgesetzt) . Hinreichend für die Invarianz
der Wirkung ist die Invarianz der Lagrange-Funktion und damit die Invarianz
des Potentials unter dieser Transformation. Wenn das Potential V (x) also in ˆn-Richtung
konstant ist, folgt die Erhaltung des Impulses in ˆn-Richtung! Aus Translationssymmetrie
folgt Impulserhaltung.
2.4.2 N = 1 Teilchen, Rotationsinvarianz in drei Dimensionen
Die Lagrange-Funktion sei
L = T − V = 1 2 mẋ2 − V (ρ,z), ρ ≡ √ x 2 + y 2 (2.57)
Das ist invariant unter Rotationen um die z-Achse, z.B. um den Winkel s = φ,
⎛
⎞
cos φ sin φ 0
q(t) = x(t) → Q(φ,t) ≡ R z (φ)x(t), R z (φ) ≡ ⎝ − sin φ cos φ 0 ⎠ (2.58)
0 0 1
Deshalb ist
I[q, ˙q] = ∂L
∂ẋ
⎛
⎝
0 1 0
−1 0 0
0 0 0
⎞
⎛
⎠x = p⎝
y
−x
0
⎞
⎠ = p x y − p y x = −L z (2.59)
zeitlich konstant, d.h. die z-Komponente des Drehimpulses L = r ×p ist eine Konstante
der Bewegung! Falls V = V (|x|) zentralsymmetrisch ist, hat man Isotropie und es
sind alle drei Komponenten des Drehimpulses erhalten. Aus Rotationssymmetrie folgt
Drehimpulserhaltung.
Für die Drehimpulserhaltung für ein Potential, das rotationssymmetrisch bzgl. einer
Achse ˆn ist, folgt für eine infinitesimale Drehung um die Achse ˆn (SKIZZE)
x = ˆn(xˆn) + x − ˆn(xˆn) → Q(δφ) = x + (x × ˆn)δφ, (2.60)