Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

Inhaltsverzeichnis
iv
4. Der Hamiltonsche Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 Die Legendre-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Konvexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.3 Konstruktion der Legendretransformation . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Hamiltonsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.1 Konservative Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.2 Beispiel: Teilchen der Masse m im Potential V in d Dimensionen . 60
4.2.3 Hamiltonfunktion als Erhaltungsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.4 Zyklische Koordinaten und Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Der Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.2 Beispiel: harmonischer Oszillator in d = 1 . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.3 Doppelmuldenpotential in d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Der Satz von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.1 Volumen im Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.2 Konstanz der Phasenraumdichte, Kontinuitätsgleichung . . . . . . 67
4.5 Poisson-Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5.1 Zeitentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5.2 Eigenschaften der Poisson-Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5.3 Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5.4 Kanonische Poisson-Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6 Kanonische Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6.1 Punkttransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6.2 Variationsprinzip für die Hamiltonschen Gleichungen . . . . . . . . 71
4.6.3 Definition der kanonischen Transformationen . . . . . . . . . . . . 72
4.6.4 Kanonizität und Symplektische Form I . . . . . . . . . . . . . . . 77
5. Die Hamilton-Jacobi-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.1 Beispiel: harmonischer Oszillator in d = 1 . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.2 Beispiel: separierende Hamiltonfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1.3 Allgemeiner Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1.4 Die Wirkungsfunktion S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2 Die Eikonal-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.1 Geometrische Bedeutung der Wirkung; Wirkungswellen . . . . . . 83
5.2.2 Beispiel: Wirkungswellen an einer Potentialschwelle in d = 2 . . . . 84
5.2.3 Das Eikonal in der Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.4 Klassische Mechanik als Grenzfall einer Wellenmechanik . . . . . . 86
5.2.5 Prinzip von Maupertuis. Prinzip von Fermat . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Wirkungs- und Winkelvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3.1 Periodische Bewegung in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3.2 Die Wirkung als Kanonische Variable . . . . . . . . . . . . . . . . 89