Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

1. Newtonsche Mechanik 12
1.2.6 Die Rotation in orthogonalen krummlinigen Koordinaten
(z.B. GREINER) Wir betrachten ein Vektorfeld in orthogonal krummlinigen Koordinaten
mit normierter, lokaler Basis g ∗ i ,
A = A i g ∗ i , d = 3. (1.54)
Wir schreiben h i ≡ |g i | −1 ≡ | ∂r
∂u i | −1 und betrachten die erste Komponente,
∇ × (A 1 g ∗ 1) = ∇ × (A 1 h 1 ∇u 1 ), (1.55)
wobei wir Gl. (1.49) verwendet haben. Mit der Produktregel (BEWEIS ALS AUFGABE)
folgt nun
∇ × (fA) = ∇f × A + f∇ × A (1.56)
∇ × (A 1 g ∗ 1) = ∇(A 1 h 1 ) × ∇u 1 + A 1 h 1 ∇ × ∇u 1 = ∇(A 1 h 1 ) × ∇u 1 , (1.57)
denn (AUFGABE)
Damit gilt also nach Definition des Gradienten
∇ × (A 1 g ∗ 1 ) = ∇(A1 h 1 ) × g∗ 1
|g 1 | = 3∑
∇ × (∇f) = 0. (1.58)
i=1
[ ∂(A 1 h 1 )
∂u i
gi
∗ ]
× g∗ 1
|g i | |g 1 |
= g∗ 2
h 1 h 3
(∂A 1 h 1 )
∂u 3 − g∗ 3
h 1 h 2
(∂A 1 h 1 )
∂u 2 , (1.59)
denn die g ∗ i bilden ein lokales, orientiertes Dreibein. Zyklisches Durchtauschen für die
anderen Komponenten liefert die Determinantenform der Rotation
∇ × A =
∣ ∣∣∣∣∣ h
1 1 g1 ∗ h 2 g2 ∗ h 3 g ∗ ∣
3 ∣∣∣∣∣
∂
h 1 h 2 h u 1 ∂ u 2 ∂ u 3 , krummlinige orthogonale Koordinaten.(1.60)
3
A 1 h 1 A 2 h 2 A 3 h 3
1.3 Zentralsymmetrische Probleme
1.3.1 Reduzierte Masse
Gegeben sei ein abgeschlossenes System zweier Massen m 1 und m 2 mit Wechselwirkungspotential
V (|x 1 − x 2 |). Die Newtonschen Bewegungsgleichungen lauten
m 1 ẍ 1 = −∇ 1 V (|x 1 − x 2 |), m 2 ẍ 2 = −∇ 2 V (|x 1 − x 2 |). (1.61)