Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

3. Der Starre Körper 44
Die kinetische Energie wird damit
T rot = 1 2
Θ αβ
∑
α,β
N∑ (
m i ω α δαβ x 2 i − x )
i,αx i,β ωβ (3.40)
i=1
= 1 ∑
ω α Θ αβ ω β = 1 2
2 ωT Θω (3.41)
≡
α,β
N∑ (
m i δαβ x 2 i − x )
i,αx i,β , Trägheitstensor in K (3.42)
i=1
Der Trägheitstensor ist eine 3×3-Matrix mit reellen Einträgen. Häufig ist es zweckmäßiger,
den Trägheitstensor in K ′ , d.h. im ‘körperfesten’, rotierenden Koordinatensystem zu berechnen.
Wegen der Invarianz der kinetischen Energie gilt natürlich
T rot = 1 ∑
ω ′
2
αΘ ′ αβ ω′ β = 1 2 (ω′ ) T Θ ′ ω ′ (3.43)
Θ ′ αβ
≡
α,β
N∑ (
m i δαβ (x ′ i) 2 − x ′ i,αx ′ i,β)
, Trägheitstensor in K ′ . (3.44)
i=1
Mit der Massendichte im System K ′
ρ(x ′ ) ≡
N∑
m i δ 3 (x ′ − x i ), Massendichte (3.45)
i=1
können wir den Trägheitstensor mit Hilfe der dreidimensionalen Delta-Funktion in ρ(x ′ )
als Volumen-Integral schreiben,
∫
≡ d 3 x ′ ρ(x ′ ) ( δ αβ x ′2 − x ′ αx ′ β)
. (3.46)
Θ ′ αβ
Diese wichtige Formel gestattet die Berechnung von Θ ′ für kontinuierliche Massenverteilungen,
also z.B. auch für Körper homogener Dichte.
3.2.3 Eigenschaften des Trägheitstensors
Der Trägheitstensors ist nach seiner Definition
Θ αβ
≡
N∑ (
m i δαβ x 2 )
i − x i,α x i,β
i=1
(3.47)
(in K oder in K ′ spielt hier keine Rolle) eine reelle symmetrische 3×3-Matrix, kann also
diagonalisiert werden zu
⎛ ⎞
Θ 1 0 0
Θ = OΘ D O −1 , Θ D = ⎝ 0 Θ 2 0 ⎠ , Hauptachsentransformation , (3.48)
0 0 Θ 3