Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

2. Lagrange-Mechanik 28
Entlang der Kurve wirke nun die Kraft F(s),
m¨s = F(s) = − d U(s) (2.32)
ds
mit dem Potential U(s). Daraus folgt Energieerhaltung,
(
d 1
dt 2 mṡ2 + U(s))
= 0. (2.33)
Die Gesamtenergie E ist konstant, das führt zu
E ≡ 1 2 mṡ2 + U(s) t − t 0 =
∫ s
ds ′
√
s 0 2[E − U(s ′ )]/m , (2.34)
man bekommt die Lösung in einer Dimension also durch direkte Integration. AUFPAS-
SEN: man hat hier die positive Wurzel gezogen.
AUFGABE:
1. Diskutieren für U(x) = 1 2 mω2 x 2 , x Koordinate auf einer Geraden (harmonischer
Oszillator).
2. Diskutieren für Kraft mit Potential U(s) = 1 2 mω2 s 2 (s Bogenlänge) entlang der
Kurve y = f(x) in der x-y-Ebene.
3. Diskutieren für Kraft in x-Richtung mit Potential U(x) = 1 2 mω2 x 2 für Bewegung
entlang der Kurve y = f(x) = α −1 sin(αx) in der x-y-Ebene.
4. Diskutieren für Kraft in y-Richtung mit Potential U(y) für Bewegung entlang einer
Kurve y = f(x) in der x-y-Ebene.
5. Schwingungsdauer für nichttriviales Potential (anharmonischer Oszillator).
2.3 Extremalprinzipien
Wir werden nun ein wichtiges neues Verfahren kennenlernen, mit dessen Hilfe Grundgleichungen
(Bewegungsgleichungen) in der Physik hergeleitet werden können.
2.3.1 Das Brachistochronen-Problem
(z.B. FLIESSBACH). (Johann, Jakob) Bernoulli und andere 1696, vgl.
http://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html.
Ein Massenpunkt m bewegt sich längs einer Kurve y = f(x) im homogenen Schwerefeld
(Potential U(x) = mgy = mgf(x)) von Punkt P 1 = (x 1 ,y 1 ) nach P 2 = (x 2 ,y 2 ).
Für welche Kurvenform f(x) durch diese beiden Punkte (f(x 1 ) = y 1 und f(x 2 ) = y 2 )
wird die Zeit t, die das Teilchen (Anfangsgeschwindigkeit Null) braucht, minimal
Wir können dieses Problem bereits mittels unserer Lösung Gl. (2.34) für die Bewegung
entlang einer Kurve formulieren,
t =
∫ s
0
E ≡ 1 2 mṡ2 + U(s)
ds ′ ∫ x2
√
1 + f
√
2[E − U(s ′ )]/m = ′ (x)
√ 2
dx = min. (2.35)
x 1 2[E/m − gf(x)]