Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

2. Lagrange-Mechanik 30
Satz 2. Ein stationärer Punkt u(x) des Funktionals J[u] genügt den Euler-Lagrange-
Gleichungen
n∑ ∂ ∂F
− ∂F = 0
∂x k ∂u 1,k ∂u 1
k=1
... = ...
n∑ ∂ ∂F
− ∂F = 0, u i,k ≡ ∂u i
. (2.39)
∂x k ∂u m,k ∂u m ∂x k
k=1
Im Spezialfall n = 1, wo also u(x) = u(t) eine einparametrige Kurve im R m ist,
lauten die Euler-Lagrange-Gleichungen
Ω
d ∂F
− ∂F = 0
dt ∂ ˙u 1 ∂u 1
... = ...
d ∂F
− ∂F = 0, ˙u i ≡ ∂u i
dt ∂ ˙u m ∂u m ∂t . (2.40)
Beweis: wir betrachten zunächst m = 1, d.h. u(x) = u 1 (x),
0 = d dε J[u 1 + εh 1 ]
∣ = d ∫
d n xF(x,u 1 + εh 1 , ∇u 1 + ε∇h 1 )
ε=0
dε
∣
Ω
ε=0
∫ (
)
= d n ∂F
n∑ ∂F ∂h 1
x h 1 +
Ω ∂u 1 ∂u 1,k ∂x k
k=1
∫ (
= d n ∂F
n∑
( ) ) ∂ ∂F
x −
h 1 , part. Int., h 1 = 0 auf dem Rand. (2.41)
∂u 1 ∂x k ∂u 1,k
k=1
Da das für beliebige h 1 (x) gelten muss, folgt
∂F
∂u 1
−
n∑
k=1
( ∂
∂x k
∂F
∂u 1,k
)
= 0. (2.42)
Für m > 0 geht das entsprechend, nur hat man da eine Summe über die m verschiedenen
h i , und es folgen die Euler-Lagrange-Gleichungen Gl. (2.39). Ende des Beweises.
Die hier vorgestellten Ableitungen sind Teil der Variationsrechnung in der Mathematik.
AUFGABE: Löse das Brachistochronen-Problem (s.o.) explizit.
2.3.3 Das Hamiltonsche Prinzip
Aus diesem Prinzip werden die Lagrange-Gleichungen 2. Art der Mechanik wie folgt
abgeleitet: Gegeben sei ein festes Zeitintervall [t 1 ,t 2 ] und ein mechanisches System mit