Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

3. Der Starre Körper 38
Hier erscheinen, im Vergleich zu Gl. (3.1), die gestrichenen und die ungestrichenen
Größen in umgekehrter Reihenfolge. Der erste Basisvektor e 1 = (1,0,0) T wir durch
R laut Gl. (3.1) in Re 1 transformiert und hat in K neue Koordinaten in der K-Basis,
z.B. bei einer Drehung um die z-Achse die Koordinaten (cos φ,sin φ,0) . In der gedrehten
Basis hat dieser Vektor allerdings die Komponenten x ′ = (1,0,0) T , was mit Gl. (3.3)
wieder zu x = (cos φ,sin φ,0) wird. Man mache sich anhand einer Skizze nochmal genau
klar, was hier passiert.
3.1.2 Zeitabhängiger Basiswechsel
Wir nehmen jetzt sowohl die Transformation R als auch den Punkt r als zeitabhängig
an. Der Übersichtlichkeit halber wird das Zeitargument t in allen Größen weggelassen.
Der Vektor der Geschwindigkeiten ẋ hängt dann mit dem in der K ′ -Basis zusammen
über
ẋ = Ṙx′ + Rẋ ′ = ṘR−1 x + Rẋ ′ . (3.4)
Wenn R zeitunabhängig ist, gilt einfach ẋ = Rẋ ′ , d.h. wie beim Ortsvektor werden
die K ′ - Geschwingkeitskoordinaten einfach in K-Geschwindigkeitskoordinaten transformiert.
Für zeitabhängiges R gibt es den Zusatzterm ṘR−1 x, der auch der einzige Term
für ẋ ′ = 0, d.h. ein für das System K ′ ruhenden Punkt r ist. Man definiert
Ṙ(t)R −1 (t) ≡ Ω(t) ẋ = Ωx + Rẋ ′ , (3.5)
Selbst wenn der Punkt r in K ′ ruht (ẋ ′ = 0), bewegt er sich in K (ẋ = Ωx). Dabei ist
Ω = Ω(t) zu jedem Zeitpunkt t eine lineare Abbildung in R 3 , und seine Komponenten
beziehen sich wie R und Ṙ auf die K-Basis. Die entsprechende Abbildung Ω′ in der
K ′ -Basis folgt aus
Es gilt also
y = Ωx,
in K
R −1 y = y ′ = Ω ′ x ′ = Ω ′ R −1 x, in K’
Ω ′ = R −1 ΩR = R −1 Ṙ. (3.6)
ẋ = Ωx + Rẋ ′ = RΩ ′ R −1 x + Rẋ ′ = R(Ω ′ x ′ + ẋ ′ ) (3.7)
womit man alles in K ′ -Koordinaten ausdrücken und dann nach K transformieren kann.