Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

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INHALTSVERZEICHNIS 1. Newtonsche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1 Newtonsche Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Die Arena des Geschehens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 N wechselwirkende Körper, lex tertia . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Zur Einteilung in innere und äußere Kräfte . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Wiederholung: Gradient, Rotation und Divergenz . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Konservative Kraft und Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Kurvenintegrale, Arbeit, Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5 Der Gradient in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.6 Die Rotation in orthogonalen krummlinigen Koordinaten . . . . . 12 1.3 Zentralsymmetrische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Reduzierte Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Allgemeine Lösung in d = 3 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 Effektives Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.4 Offene und geschlossene Bahnkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.5 Lösung in d ≠ 3 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Das Kepler-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Einschub: Polardarstellung der Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Keplersche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.3 Runge-Lenz-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.4 Periheldrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.5 Weiter zum Lesen empfehlenswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Einfache Potentialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.1 Potential einer Massenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.2 Newtonsches Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.3 Poisson-Gleichung, Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.4 Die Divergenz und der Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.5 Vergleich mit der Elektrostatik. Multipolentwicklung . . . . . . . . 21
Inhaltsverzeichnis iii 2. Lagrange-Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1 Zwangskräfte und Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 Beispiel: Teilchen auf einer schiefen Ebene . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2 Teilchen auf einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3 Mehrere Freiheitsgrade und Zwangskräfte: Lagrange I . . . . . . . 23 2.1.4 Beispiel: Teilchen auf einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Die Erlösung: Lagrange II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Elimination der Zwangskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Beispiele <strong>für</strong> Lagrange II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.3 Bewegung entlang einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Extremalprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Das Brachistochronen-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Einschub: Funktionale und Variationsableitungen . . . . . . . . . . 29 2.3.3 Das Hamiltonsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.4 Nicht-Eindeutigkeit von L, Eichtransformationen . . . . . . . . . . 31 2.3.5 Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . 32 2.4 Symmetrien und Noether-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 N = 1 Teilchen, Translationsinvarianz in drei Dimensionen . . . . 34 2.4.2 N = 1 Teilchen, Rotationsinvarianz in drei Dimensionen . . . . . . 34 2.5 D’Alembertsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.1 Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6 Klassifikation von Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3. Der Starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1 Newtonsche Gleichungen in Nichtinertialsystemen . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2 Zeitabhängiger Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.3 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.4 Echte Kräfte und Scheinkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.5 Rotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Kinematik und Dynamik des Starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1 Bezugssysteme K und K ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2 Kinetische Energie und Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.3 Eigenschaften des Trägheitstensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.4 Praktische Berechnung des Trägheitstensors . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.5 Der Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.6 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.7 Die Eulerschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Kreiseltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.1 Der Symmetrische Kräftefreie Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.2 Die Eulerschen Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.3 Der Schwere Symmetrische Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
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6. Einführung in die Spezielle Rel
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7. Schwingungen 121 Zum Beweis erke
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8. Dynamische Systeme 135 Es gibt e
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