Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

1. Newtonsche Mechanik 10
wobei in der letzten Zeile die Determinante als Merkregel benutzt wurde und ∂ x ≡ ∂
∂x
etc. abkürzt. Die Rotation ist also selbst wieder ein dreidimensionales Vektorfeld.
BEISPIEL:
1.2.4 Integralsatz von Stokes
f(x,y,z) = (y, −x,0) ∇ × f = (0,0, −2). (1.38)
Wir betrachten nochmals die Zerlegung des Wirbelstärken-Integrals
∮
W[C] ≡ F(x)dx = ∑ W i
A i (1.39)
C A
i i
in zahlreiche kleine Flächen A i , die von C umschlossen werden. Im Grenzfall A i → 0
folgt jetzt mit der Definition der Rotation heuristisch
∮ ∫
W[C] ≡ F(x)dx = rotFdA, Stokes’scher Integralsatz , (1.40)
C
A
was die Äquivalenz des Kurvenintegrals F(x)dx über die geschlossene Kurve C mit dem
Flächenintegral über die eingeschlossene Fläche A beschreibt.
1.2.5 Der Gradient in krummlinigen Koordinaten
Wir betrachten die Ableitung einer Funktion f : R n → R entlang einer Kurve x(t). In
kartesischen Koordinaten gilt nach der Kettenregel
d
n∑
dt f(x(t)) = ∂
f(x) dx i
∂x i dt
i=1
= (∇f(x),v), v ≡ ẋ. (1.41)
Jetzt beschreiben wir diese Kurve in krummlinigen Koordinaten u j , so dass x i = x i (u j )
(wir unterscheiden wieder zwischen ko- und kontravarianten Koordinaten). Wir bilden
die Ableitung der Funktion in krummlinigen Koordinaten
d
dt f(u1 (t),...,u n (t)) =
n∑
i=1
∂ dui
∂uif dt
was wegen v = ˙u j g j (Einsteinsche Summations-Konvention) auf
≡ (∇f,v), (1.42)
∇f = ∂f
∂u igi , Gradient in krummlinigen Koordinaten (1.43)
führt, denn wegen g i g j = δ i j gilt
(∇f,v) = ∂f
∂u igi ˙u j g j = ∂f
∂u i ˙ui . (1.44)